Escreva na forma de componentes a equação diferencial de movimento de um projétil para o caso de resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade. Estas equações são separáveis? Mostre que a componente
da velocidade é
onde
é a distância percorrida pelo projétil ao longo da trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um projétil (tipo uma bola sendo chutada) que está se movendo no ar, e a resistência do ar que ele sente é proporcional ao quadrado da velocidade. Ou seja, quanto mais rápido ele vai, maior é a resistência. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de movimento e forças de resistência do ar. Vamos precisar usar essas ideias para escrever as equações de movimento nas direções x e y, e depois verificar se são separáveis. Por fim, vamos mostrar que a componente x da velocidade tem a forma dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força de resistência do ar que é proporcional ao quadrado da velocidade pode ser escrita como:
Aqui,
é uma constante que depende das propriedades do ar e do projétil,
é a velocidade, e
é o vetor velocidade.
Passo 3
Agora, vamos dividir essa força nas componentes x e y. Se a velocidade tem componentes
na direção x e
na direção y, então a força de resistência nas direções x e y será:
Mas para simplificar, podemos escrever a força de resistência como proporcional ao quadrado da velocidade total, então temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força é igual à massa vezes a aceleração (
). Para cada direção, teremos:
Para x:
Para y:
Aqui, em y, além da força de resistência, temos a força da gravidade
.
Passo 5
Vamos simplificar as equações dividindo ambos os lados por
:
Para x:
Para y:
Essas são as equações diferenciais de movimento nas direções x e y com resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade.
Passo 6
Agora, a próxima parte da questão pergunta se essas equações são separáveis. Uma equação diferencial é separável se conseguimos separar as variáveis, ou seja, escrever tudo que envolve uma variável de um lado e tudo que envolve a outra variável do outro lado da equação.
Olhemos para a equação em x:
Podemos reescrever isso como:
Agora, se rearranjarmos para separar as variáveis
e
:
Vemos que conseguimos separar as variáveis, então a equação é separável.
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação para a componente x da velocidade:
Integramos ambos os lados:
A integral da esquerda é:
Onde
é a constante de integração. Podemos multiplicar ambos os lados por -1:
Para simplificar, vamos chamar
de
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, vamos relacionar isso com a distância percorrida
. Sabemos que:
Mas como nosso foco é na componente x, podemos afirmar que a distância percorrida ao longo da trajetória influencia a velocidade na direção x. Assim, podemos relacionar
com
e reescrever a expressão para
em termos de
:
Onde
é a velocidade inicial na direção x.
Resposta
Então, seguindo esses passos, mostramos que a componente x da velocidade do projétil com resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade é dada por: