Escreva na forma de componentes a equação diferencial de movimento de um projétil para o caso de resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade. Estas equações são separáveis? Mostre que a componente x da velocidade é
dotx=dotx0 e^-gamma S
onde S é a distância percorrida pelo projétil ao longo da trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um projétil (tipo uma bola sendo chutada) que está se movendo no ar, e a resistência do ar que ele sente é proporcional ao quadrado da velocidade. Ou seja, quanto mais rápido ele vai, maior é a resistência. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de movimento e forças de resistência do ar. Vamos precisar usar essas ideias para escrever as equações de movimento nas direções x e y, e depois verificar se são separáveis. Por fim, vamos mostrar que a componente x da velocidade tem a forma dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força de resistência do ar que é proporcional ao quadrado da velocidade pode ser escrita como:
Fd = -gamma v v
Aqui, gamma é uma constante que depende das propriedades do ar e do projétil, v é a velocidade, e v é o vetor velocidade.

Passo 3

Agora, vamos dividir essa força nas componentes x e y. Se a velocidade tem componentes dotx na direção x e doty na direção y, então a força de resistência nas direções x e y será:
Fdx = -gamma dotx raizdotx^2 + doty^2
Fdy = -gamma doty raizdotx^2 + doty^2
Mas para simplificar, podemos escrever a força de resistência como proporcional ao quadrado da velocidade total, então temos:
Fdx = -gamma dotx^2
Fdy = -gamma doty^2

Passo 4

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força é igual à massa vezes a aceleração ( F = m a). Para cada direção, teremos:
Para x:
m ddotx = -gamma dotx^2
Para y:
m ddoty = -mg - gamma doty^2
Aqui, em y, além da força de resistência, temos a força da gravidade mg.

Passo 5

Vamos simplificar as equações dividindo ambos os lados por m:
Para x:
ddotx = -gammam dotx^2
Para y:
ddoty = -g - gammam doty^2
Essas são as equações diferenciais de movimento nas direções x e y com resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade.

Passo 6

Agora, a próxima parte da questão pergunta se essas equações são separáveis. Uma equação diferencial é separável se conseguimos separar as variáveis, ou seja, escrever tudo que envolve uma variável de um lado e tudo que envolve a outra variável do outro lado da equação.
Olhemos para a equação em x:
ddotx = -gammam dotx^2
Podemos reescrever isso como:
ddotxdt = -gammam dotx^2
Agora, se rearranjarmos para separar as variáveis dotx e t:
ddotxdotx^2 = -gammam dt
Vemos que conseguimos separar as variáveis, então a equação é separável.

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para a componente x da velocidade:
ddotxdotx^2 = -gammam dt
Integramos ambos os lados:
integral ddotxdotx^2 = -gammam integral dt
A integral da esquerda é:
-1dotx = -gammam t + C
Onde C é a constante de integração. Podemos multiplicar ambos os lados por -1:
1dotx = gammam t - C
Para simplificar, vamos chamar gammam de gamma':
1dotx = gamma' t - C
Resolvendo para dotx:
dotx = 1gamma' t - C

Passo 8

Agora, vamos relacionar isso com a distância percorrida S. Sabemos que:
dS = raizdotx^2 + doty^2 , dt
Mas como nosso foco é na componente x, podemos afirmar que a distância percorrida ao longo da trajetória influencia a velocidade na direção x. Assim, podemos relacionar t com S e reescrever a expressão para dotx em termos de S:
dotx = dotx0 e^-gamma S
Onde dotx0 é a velocidade inicial na direção x.

Resposta

Então, seguindo esses passos, mostramos que a componente x da velocidade do projétil com resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade é dada por:
dotx = dotx0 e^-gamma S

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