Uma partida de tênis (feminina) é vencida pela primeira jogadora que ganhar 2 sets. Seja X a variável aleatória que representa a sequência de sets vencidos pelas jogadoras A e B. Exemplos de possíveis valores de X
são: AA, ABA e ABB . Seja Y o número de sets jogados numa partida terminada. Claramente, Y só pode assumir os valores 2 e 3 . Supondo que as jogadoras A e B são igualmente competentes neste esporte e que os sets são independentes, calcule:
(a) H(X);

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que numa partida de tênis (melhor de 3 sets) a jogadora que ganha 2 sets primeiro vence. A variável aleatória H(X) ;=; -sumx p(x),log2 p(x) é a sequência dos vencedores de cada set (por exemplo “AA”, “ABA”, “ABB” etc.). Como as jogadoras são igualmente fortes e os sets independentes, cada set tem probabilidade de ser ganho pela A ou pela B.
Conteúdo: Entropia de Shannon.
O que vamos precisar:
  1. Listar todas as sequências possíveis de .
  2. Calcular a probabilidade de cada sequência.
  3. Aplicar a fórmula da entropia

Passo 2

Primeiro, quais sequências são possíveis?
  • Se alguém ganhar 2–0, só têm “AA” ou “BB”.
  • Se chegar a 1–1, vai ter que jogar o 3º set, e aí as sequências são “ABA”, “ABB”, “BAB” e “BAA”.
    Logo, temos 2 sequências de comprimento 2 e 4 de comprimento 3.

Passo 3

Agora, por independência e ,
  • cada sequência de 2 sets tem probabilidade ,
  • cada sequência de 3 sets tem probabilidade .

Passo 4

Aplicando a fórmula da entropia:
H(X) = -sumx p(x),log2 p(x) = -l[2cdottfrac14log2tfrac14 ;+;4cdottfrac18log2tfrac18r]
Calculando cada termo:
, e como são 2 sequências assim, dá .
, e como são 4 sequências, dá .

Resposta

H(X) = 1 + 1,5 = 2,5 bits

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