Uma partida de tênis (feminina) é vencida pela primeira jogadora que ganhar 2 sets. Seja
a variável aleatória que representa a sequência de sets vencidos pelas jogadoras A e B. Exemplos de possíveis valores de
são:
e ABB . Seja
o número de sets jogados numa partida terminada. Claramente,
só pode assumir os valores 2 e 3 . Supondo que as jogadoras A e B são igualmente competentes neste esporte e que os sets são independentes, calcule:
(a)
;
são:
(a)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que numa partida de tênis (melhor de 3 sets) a jogadora que ganha 2 sets primeiro vence. A variável aleatória
é a sequência dos vencedores de cada set (por exemplo “AA”, “ABA”, “ABB” etc.). Como as jogadoras são igualmente fortes e os sets independentes, cada set tem probabilidade
de ser ganho pela A ou pela B.
Conteúdo: Entropia de Shannon.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Entropia de Shannon.
O que vamos precisar:
- Listar todas as sequências possíveis de
. - Calcular a probabilidade de cada sequência.
- Aplicar a fórmula da entropia
Passo 2
Primeiro, quais sequências são possíveis?
- Se alguém ganhar 2–0, só têm “AA” ou “BB”.
- Se chegar a 1–1, vai ter que jogar o 3º set, e aí as sequências são “ABA”, “ABB”, “BAB” e “BAA”.
Logo, temos 2 sequências de comprimento 2 e 4 de comprimento 3.
Passo 3
Agora, por independência e
,
- cada sequência de 2 sets tem probabilidade
, - cada sequência de 3 sets tem probabilidade
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da entropia:
Calculando cada termo:
, e como são 2 sequências assim, dá
.
, e como são 4 sequências, dá
.