Partindo da definição de trabalho \mathbf{W}=-\mathbf{F}_{\text {ext }} \cdot \mathbf{Z}, deduza a equação para o trabalho de expansão em função da pressão externa \left(\mathbf{P}_{\text {ext }}\right) e da variação de volume (\Delta \mathrm{V}).

Passo 1

O enunciado pede para partir da definição
W = -\mathbf{F}_{\text{ext}}\cdot\mathbf{Z}
e deduzir a expressão do trabalho de expansão em função da pressão externa \left(P_{\text{ext}}\right) e da variação de volume \left(\Delta V\right).
Informações e condições dadas (explicitadas para usar na dedução):
  • \mathbf{F}_{\text{ext}} é a força externa aplicada sobre a superfície móvel (por exemplo, um pistão).
  • \mathbf{Z} é o vetor deslocamento dessa superfície (deslocamento normal ao pistão).
  • Assume-se que a pressão externa é uniforme sobre a área do pistão e que o deslocamento é normal à superfície (força e deslocamento são colineares, possivelmente com sentidos opostos).
  • Queremos uma fórmula relacionando W, P_{\text{ext}} e \Delta V.

Passo 2

Entendendo o produto escalar para este caso: quando força e deslocamento são colineares com direção normal à superfície, o produto escalar reduz-se a produto de magnitudes com sinal dependendo dos sentidos. Tomando o eixo positivo no sentido de expansão do sistema (deslocamento \mathbf{Z} positivo para fora), a força externa aponta no sentido oposto (para dentro). Podemos escrever vetorialmente
\mathbf{Z}=z\,\hat{n},\qquad \mathbf{F}_{\text{ext}}=-F_{\text{ext}}\,\hat{n},
onde \hat{n} é o versor normal ao pistão, z é a magnitude do deslocamento e F_{\text{ext}} é a magnitude da força externa. Então o produto escalar fica
\mathbf{F}_{\text{ext}}\cdot\mathbf{Z}=(-F_{\text{ext}}\hat{n})\cdot(z\hat{n})=-F_{\text{ext}}\,z.

Passo 3

Substituindo o produto escalar na definição do trabalho:
W = -\mathbf{F}_{\text{ext}}\cdot\mathbf{Z} = -(-F_{\text{ext}}\,z) = F_{\text{ext}}\,z.
Aqui W é o trabalho realizado pelo sistema (pela convenção adotada na definição inicial).

Passo 4

Relacionando força e pressão: pressão é força por unidade de área. Se a área do pistão for A, então a magnitude da força externa é
F_{\text{ext}} = P_{\text{ext}}\,A.
Relacionando deslocamento com variação de volume: o aumento do volume causado pelo avanço do pistão é a área vezes o deslocamento,
\Delta V = A\,z \quad\Rightarrow\quad z=\frac{\Delta V}{A}.

Passo 5

Agora substituímos F_{\text{ext}}=P_{\text{ext}}A e z=\dfrac{\Delta V}{A} em W=F_{\text{ext}}\,z:
W = \bigl(P_{\text{ext}}A\bigr)\left(\frac{\Delta V}{A}\right).
As áreas cancelam:
W = P_{\text{ext}}\,\Delta V.

Passo 6

Formas diferencial e integral (caso P_{\text{ext}} varie ou se trabalhar com pequenos incrementos):
  • Forma diferencial:
dW = P_{\text{ext}}\,dV.
  • Forma integral entre volumes inicial e final:
W = \int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV.
Comentário sobre sinal e interpretação (breve e motivador): com a definição inicial W=-\mathbf{F}_{\text{ext}}\cdot\mathbf{Z}, a expressão W=P_{\text{ext}}\Delta V significa que, quando o sistema expande ( \Delta V>0), W>0 — isto é, o sistema realiza trabalho positivo sobre as vizinhanças. Se preferes a convenção em que o trabalho sobre o sistema é positivo, então usa-se a forma com sinal trocado; atenção às convenções na prova!

Resposta

W = P_{\text{ext}}\,\Delta V
dW = P_{\text{ext}}\,dV
W = \displaystyle\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV

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