Partindo da definição de trabalho
, deduza a equação para o trabalho de expansão em função da pressão externa
e da variação de volume
.
Passo 1
O enunciado pede para partir da definição
e deduzir a expressão do trabalho de expansão em função da pressão externa
e da variação de volume
.
Informações e condições dadas (explicitadas para usar na dedução):
-
é a força externa aplicada sobre a superfície móvel (por exemplo, um pistão). -
é o vetor deslocamento dessa superfície (deslocamento normal ao pistão). - Assume-se que a pressão externa é uniforme sobre a área do pistão e que o deslocamento é normal à superfície (força e deslocamento são colineares, possivelmente com sentidos opostos).
- Queremos uma fórmula relacionando
, e .
Passo 2
Entendendo o produto escalar para este caso: quando força e deslocamento são colineares com direção normal à superfície, o produto escalar reduz-se a produto de magnitudes com sinal dependendo dos sentidos. Tomando o eixo positivo no sentido de expansão do sistema (deslocamento
positivo para fora), a força externa aponta no sentido oposto (para dentro). Podemos escrever vetorialmente
onde
é o versor normal ao pistão,
é a magnitude do deslocamento e
é a magnitude da força externa. Então o produto escalar fica
Passo 3
Substituindo o produto escalar na definição do trabalho:
Aqui
é o trabalho realizado pelo sistema (pela convenção adotada na definição inicial).
Passo 4
Relacionando força e pressão: pressão é força por unidade de área. Se a área do pistão for
, então a magnitude da força externa é
Relacionando deslocamento com variação de volume: o aumento do volume causado pelo avanço do pistão é a área vezes o deslocamento,
Passo 5
Agora substituímos
e
em
:
As áreas cancelam:
Passo 6
Formas diferencial e integral (caso
varie ou se trabalhar com pequenos incrementos):
- Forma diferencial:
- Forma integral entre volumes inicial e final:
Comentário sobre sinal e interpretação (breve e motivador): com a definição inicial
, a expressão
significa que, quando o sistema expande (
),
— isto é, o sistema realiza trabalho positivo sobre as vizinhanças. Se preferes a convenção em que o trabalho sobre o sistema é positivo, então usa-se a forma com sinal trocado; atenção às convenções na prova!