Partindo-se das definições de índices físicos, demonstre que:
G. w = Sr.e

Passo 1

Vamos mostrar, usando notação de índices físicos (Einstein), que
G cdot w ;=; Sr, er,
Aqui G é um tensor de segunda ordem com componentes Gij, w é um vetor com componentes wj, e er é a base ortonormal. A ideia é expandir cada objeto em componentes e aplicar a definição de produto entre tensor e vetor.

Passo 2

Escrevendo em componentes na base ei, temos
G = Gij,l( eiotimes ejr),
w = wk, ek
Lembre que eiotimes ej atua num vetor v segundo
l( eiotimes ejr)!cdot! v = ei,( ej!cdot! v)

Passo 3

Aplicando essa definição ao produto G cdot w, obtemos
G cdot w = Gij,( eiotimes ej)cdot(wk, ek) = Gij,wk, ei,( ej!cdot! ek)
Como a base é ortonormal, ej!cdot! ek=de<ajk, logo
G cdot w = Gij,wk,de<ajk, ei = Gij,wj, ei

Passo 4

Definimos então o escalar
Sr ;=; Grj,wj,
onde r é o índice livre que indica o componente do vetor resultante. Substituindo, fica
G cdot w = l(Gij,wjr), ei = Si, ei

Resposta

boxed G cdot w = Sr, er

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