Partindo de um volume de controle diferencial, deduza a equação da difusão, em base molar, para a espécie A em um meio estacionário tridimensional (em coordenadas esféricas), levando em consideração geração da espécie e propriedades constantes. Esquematize a geometria a ser trabalhada, estabeleça as restrições e obtenha a equação de balanço correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O desafio aqui é deduzir a equação da difusão para a espécie A em um meio estacionário tridimensional usando coordenadas esféricas. Isso envolve entender como a espécie A se movimenta e se gera nesse ambiente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de fluxo de massa, geometria de controle e equações de balanço de massa. Vamos dividir tudo em passos para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos esquematizar a geometria que vamos trabalhar. Como estamos lidando com coordenadas esféricas, imagine uma esfera com raio r. Vamos considerar um volume de controle diferencial, que é basicamente uma casca esférica muito fina com espessura dr. Essa casca nos ajuda a analisar o fluxo de massa da espécie A entrando e saindo.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer as restrições para simplificar a nossa análise:
  1. Estacionário: Não há variação no tempo, então as concentrações não mudam com o tempo.
  2. Propriedades constantes: O coeficiente de difusão D da espécie A é constante.
  3. Geração uniforme: A espécie A é gerada de forma constante dentro do volume de controle.

Passo 4

Com a geometria e as restrições em mente, vamos para o balanceamento de massas da espécie A no volume de controle. A ideia é que a quantidade de A que entra no volume, menos a que sai, mais a geração dentro do volume, deve ser igual a zero (porque está estacionário).

Passo 5

Vamos expressar o fluxo de massa da espécie A usando a Lei de Fick. Em coordenadas esféricas, o fluxo radial é dado por:
Jr = -D dCAdr
Onde:
  • $ J_r $ é o fluxo molar na direção radial.
  • $ D $ é o coeficiente de difusão.
  • $ C_A $ é a concentração da espécie A.
  • $ \frac{dC_A}{dr} $ é a variação da concentração em relação ao raio.

Passo 6

Agora, vamos calcular o número de moles que entram e saem do volume de controle. A área da superfície da esfera é $ 4\pi r^2 $, então:
  • Entrada: $ J_r ® \times 4\pi r^2 $
  • Saída: $ J_r (r + dr) \times 4\pi (r + dr)^2 $
Como dr é muito pequeno, podemos usar a regra da diferença para simplificar:
4pi r^2

Passo 7

Considerando a geração da espécie A no volume de controle, temos uma taxa de geração por unidade de volume igual a G. Então, a quantidade total gerada no volume diferencial é:
G times 4pi r^2 dr

Passo 8

Aplicando o balanceamento de massa, temos:
ddr ( Jr times 4pi r^2 ) + G times 4pi r^2 dr = 0
Dividindo toda a equação por $ 4\pi r^2 dr $, simplificamos para:
4pi r^2 dr

Passo 9

Substituindo $ J_r = -D \frac{dC_A}{dr} $ na equação, temos:
Jr = -D dCAdr
Isso simplifica para:
1r^2 ddr ( -D r^2 dCAdr ) + G = 0

Resposta

A equação da difusão para a espécie A em um meio estacionário tridimensional, em coordenadas esféricas, considerando geração da espécie e propriedades constantes, é dada por:
1r^2 ddr( r^2 dCAdr ) = -GD

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