1. A partir de um átomo de sódio construa o modelo de bandas de valência. Como são os modelos de banda de valência para os materiais condutores, semicondutores e isolantes. Como o gap de energia influencia a condutividade desses materiais?

Passo 1

O enunciado pede que, partindo de um átomo de sódio isolado, construamos o modelo de bandas de valência em um sólido cristalino e, em seguida, descrevamos como são as bandas de energia em condutores, semicondutores e isolantes, explicando também de que forma o gap de energia influencia a condutividade. O conteúdo central é a teoria de bandas de energia e vamos usar o conceito de sobreposição de níveis atômicos, formação de bandas contínuas e a dependência exponencial da concentração de portadores com o gap de energia.

Passo 2

Num átomo isolado de sódio a configuração eletrônica externa é \dots 2p^6 3s^1, de modo que o orbital 3s contém um único elétron. Quando muitos átomos de sódio se aproximam para formar um cristal, esses orbitais 3s interagem e os níveis discretos se alargam, gerando uma banda contínua de estados, chamada banda de valência (que, no caso do sódio metálico, coincide com a banda de condução). Cada átomo contribui com um elétron 3s e a banda resultante comporta dois elétrons por nível de energia (spin up e spin down), de modo que ela fica parcialmente ocupada. Como há sempre estados vazios logo acima do nível de Fermi, elétrons podem se mover livremente, caracterizando o sódio como um bom condutor.

Passo 3

No modelo de bandas de energia em sólidos cristalinos temos três casos típicos:
No caso dos condutores, a banda de valência (ou a banda 3s no sódio) permanece parcialmente ocupada ou chega a se sobrepor com a banda de condução, de modo que basta um pequeno ganho de energia para que elétrons ocupem estados livres logo acima do nível de Fermi. Isso resulta em alta densidade de portadores livres e, portanto, elevada condutividade.
Nos semicondutores, a banda de valência está completamente cheia e a banda de condução completamente vazia a T=0\:\mathrm K. Elas são separadas por um gap de energia \mathrm{E_g} moderado, tipicamente da ordem de 1\,\mathrm eV. Quando a temperatura aumenta ou o cristal é dopado, elétrons podem ser excitados termicamente ou por impurezas para a banda de condução, gerando portadores livres e permitindo condução moderada.
Nos isolantes, também há bandas bem definidas, mas o gap de energia \mathrm{E_g} é grande (geralmente \gtrsim 3\,\mathrm eV). A distância de energia entre a banda de valência e a de condução impede que elétrons sejam excitados termicamente em número significativo nas temperaturas usuais, levando a condutividade praticamente nula.

Passo 4

Em semicondutores e isolantes a concentração de portadores livres gerados termicamente segue a lei de Boltzmann
n \propto \exp\bigl(-\tfrac{\mathrm{E_g}}{2k_{\mathrm B}T}\bigr),
onde k_{\mathrm B} é a constante de Boltzmann e T a temperatura. Como a condutividade elétrica \sigma é proporcional à densidade de portadores n, temos
\sigma \propto \exp\bigl(-\tfrac{\mathrm{E_g}}{2k_{\mathrm B}T}\bigr).
Isso mostra que quanto maior for \mathrm{E_g}, menor será a densidade de elétrons excitados e, portanto, menor a condutividade. Em metais, como não existe gap bem definido entre bandas e há uma banda parcialmente ocupada, essa dependência exponencial não se aplica, resultando em alta condutividade mesmo em baixas temperaturas.

Resposta

Condutores: banda de valência parcial ou sobreposta à banda de condução, muita disponibilidade de estados e alta condutividade.
Semicondutores: bandas separadas por \mathrm{E_g}\sim1\,\mathrm eV, condutividade cresce com temperatura ou dopagem.
Isolantes: bandas separadas por \mathrm{E_g}\gtrsim3\,\mathrm eV, excitação térmica desprezível e condutividade praticamente nula.
Gap de energia maior implica em menor número de portadores livres e, portanto, em menor condutividade.

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