A partir do elemento de onda:
encontre a equação de Schrodinger para uma dimensão.
Passo 1
O enunciado dá o elemento de onda
e pede para, a partir dele, “encontrar a equação de Schrödinger para uma dimensão”. Informações explícitas fornecidas:
- Amplitude constante:
. - Comprimento de onda:
. - Velocidade de propagação da onda (na forma dada):
. - Variáveis espaciais e temporais:
e .
A pergunta é produzir a equação de Schrödinger unidimensional apropriada e relacioná-la com o elemento de onda dado.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função usando parâmetros padrão de ondas (isso facilita a conexão com Schrödinger). Use a identidade de Euler para transformar o seno em exponenciais complexas: defina
de modo que o argumento da seno é
. Aplicando Euler,
logo
Observação didática: a equação de Schrödinger é uma equação linear com coeficientes complexos, por isso é natural trabalhar com exponenciais complexas; a função seno real é combinação linear (diferença) de duas ondas complexas.
Passo 3
Agora vamos recordar duas relações fundamentais que ligam ondas à mecânica quântica (essas são as famosas relações de de Broglie / Planck):
Aqui:
-
é a constante de Planck reduzida. -
é o momento linear da partícula associada à onda. -
é a energia associada à onda.
Essas relações permitem passar da descrição ondulatória () para grandezas físicas quânticas ( ).
Passo 4
Em mecânica quântica representamos as observáveis por operadores. Dois operadores importantes são:
Significado:
-
(operador momento) quando atua sobre dá multiplicando a própria função, porque a derivada espacial traz o fator . -
(operador energia) age sobre dando multiplicando a função, pois a derivada temporal traz e o na frente dá .
Isso mostra que as exponenciaissão autovalores próprios desses operadores (com os autovalores e ).
Passo 5
Para uma partícula livre clássica a relação entre energia e momento é
onde
é a massa da partícula. Promovendo
e
aos operadores quânticos e aplicando essa relação obtemos o Hamiltoniano (operador energia) quântico:
A equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre é a escrita da igualdade
, isto é
Explicando: o termo do lado esquerdo representa a energia total (operador tempo) aplicada à função de onda; o lado direito é a energia cinética (operador espaço) aplicada à função de onda. Para potencial
adiciona-se
no lado direito, mas para partícula livre
.
Passo 6
Vamos verificar a dispersão que a equação de Schrödinger impõe a uma onda plana
. Substituindo
em
obtemos, usando
e
,
Isto fornece a relação de dispersão quântica
Interpretação prática: para que uma exponencial
seja solução da equação de Schrödinger livre,
e
devem obedecer essa relação quadrática (note que é quadrática em
, não linear).
Passo 7
Comparando com os parâmetros do enunciado temos
e
. Substituindo na relação de dispersão quântica obtemos a condição que o elemento de onda dado deve satisfazer para ser solução da Schrödinger livre:
Simplificando:
Comentário didático e empático: isso mostra algo importante — a onda dada originalmente com velocidade
arbitrária é uma onda clássica com relação linear
. A mecânica quântica livre exige uma dispersão diferente
. Portanto, o
do enunciado só será solução da equação de Schrödinger livre se
e
satisfizerem a relação acima. Não é um erro seu: muitas ondas clássicas não obedecem automaticamente à dispersão quântica.
Passo 8
Uma observação final prática para a hora da prova: a forma real
é combinação de duas exponenciais
. Para que toda essa combinação seja solução da Schrödinger livre, cada componente exponencial deve obedecer à relação de dispersão quântica com a mesma
. Isso só ocorre se escolhermos a dependência temporal como
comum a ambas as componentes espaciais
(por exemplo
com
é solução). A forma viajante real
com
geralmente não satisfaz a equação de Schrödinger livre, a menos da condição de dispersão encontrada no passo anterior.
Resposta
Condição para que
seja solução: