A partir do elemento de onda: \psi=a \operatorname{sen} 2 \pi(x / \lambda-u t) encontre a equação de Schrodinger para uma dimensão.

Passo 1

O enunciado dá o elemento de onda
\psi = a \operatorname{sen} 2\pi\!\left(\frac{x}{\lambda}-u t\right)
e pede para, a partir dele, “encontrar a equação de Schrödinger para uma dimensão”. Informações explícitas fornecidas:
  • Amplitude constante: a.
  • Comprimento de onda: \lambda.
  • Velocidade de propagação da onda (na forma dada): u.
  • Variáveis espaciais e temporais: x e t.
    A pergunta é produzir a equação de Schrödinger unidimensional apropriada e relacioná-la com o elemento de onda dado.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função usando parâmetros padrão de ondas (isso facilita a conexão com Schrödinger). Use a identidade de Euler para transformar o seno em exponenciais complexas: defina
k=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad \omega=2\pi u,
de modo que o argumento da seno é kx-\omega t. Aplicando Euler,
\operatorname{sen}(kx-\omega t)=\frac{e^{i(kx-\omega t)}-e^{-i(kx-\omega t)}}{2i},
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\psi(x,t)=\frac{a}{2i}\bigl(e^{i(kx-\omega t)}-e^{-i(kx-\omega t)}\bigr).
Observação didática: a equação de Schrödinger é uma equação linear com coeficientes complexos, por isso é natural trabalhar com exponenciais complexas; a função seno real é combinação linear (diferença) de duas ondas complexas.

Passo 3

Agora vamos recordar duas relações fundamentais que ligam ondas à mecânica quântica (essas são as famosas relações de de Broglie / Planck):
p=\hbar k,\qquad E=\hbar \omega.
Aqui:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida.
  • p é o momento linear da partícula associada à onda.
  • E é a energia associada à onda.
    Essas relações permitem passar da descrição ondulatória ( k,\omega ) para grandezas físicas quânticas ( p,E).

Passo 4

Em mecânica quântica representamos as observáveis por operadores. Dois operadores importantes são:
\hat p = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x},\qquad \hat E = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}.
Significado:
  • \hat p (operador momento) quando atua sobre e^{i(kx-\omega t)} \hbar k multiplicando a própria função, porque a derivada espacial traz o fator ik.
  • \hat E (operador energia) age sobre e^{i(kx-\omega t)} dando \hbar\omega multiplicando a função, pois a derivada temporal traz -i\omega e o i\hbar na frente dá \hbar\omega.
    Isso mostra que as exponenciais e^{i(kx-\omega t)} são autovalores próprios desses operadores (com os autovalores p=\hbar k e E=\hbar\omega).

Passo 5

Para uma partícula livre clássica a relação entre energia e momento é
E=\frac{p^{2}}{2m},
onde m é a massa da partícula. Promovendo E e p aos operadores quânticos e aplicando essa relação obtemos o Hamiltoniano (operador energia) quântico:
\hat H = \frac{\hat p^{2}}{2m} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}.
A equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre é a escrita da igualdade \hat E\psi=\hat H\psi, isto é
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}.
Explicando: o termo do lado esquerdo representa a energia total (operador tempo) aplicada à função de onda; o lado direito é a energia cinética (operador espaço) aplicada à função de onda. Para potencial V(x)\neq0 adiciona-se +V(x)\psi no lado direito, mas para partícula livre V=0.

Passo 6

Vamos verificar a dispersão que a equação de Schrödinger impõe a uma onda plana e^{i(kx-\omega t)}. Substituindo \psi=e^{i(kx-\omega t)} em
i\hbar\psi_{t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi_{xx}
obtemos, usando \psi_{t}=-i\omega\psi e \psi_{xx}=-k^{2}\psi,
\hbar\omega = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}.
Isto fornece a relação de dispersão quântica
\omega = \frac{\hbar k^{2}}{2m}.
Interpretação prática: para que uma exponencial e^{i(kx-\omega t)} seja solução da equação de Schrödinger livre, \omega e k devem obedecer essa relação quadrática (note que é quadrática em k, não linear).

Passo 7

Comparando com os parâmetros do enunciado temos \omega=2\pi u e k=2\pi/\lambda. Substituindo na relação de dispersão quântica obtemos a condição que o elemento de onda dado deve satisfazer para ser solução da Schrödinger livre:
2\pi u = \frac{\hbar (2\pi/\lambda)^{2}}{2m}.
Simplificando:
u=\frac{\hbar k}{2m}=\frac{\hbar}{2m}\cdot\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\pi\hbar}{m\lambda}.
Comentário didático e empático: isso mostra algo importante — a onda dada originalmente com velocidade u arbitrária é uma onda clássica com relação linear \omega=uk. A mecânica quântica livre exige uma dispersão diferente \omega\propto k^{2}. Portanto, o \psi do enunciado só será solução da equação de Schrödinger livre se u e \lambda satisfizerem a relação acima. Não é um erro seu: muitas ondas clássicas não obedecem automaticamente à dispersão quântica.

Passo 8

Uma observação final prática para a hora da prova: a forma real \operatorname{sen}(kx-\omega t) é combinação de duas exponenciais e^{\pm i(kx-\omega t)}. Para que toda essa combinação seja solução da Schrödinger livre, cada componente exponencial deve obedecer à relação de dispersão quântica com a mesma \omega. Isso só ocorre se escolhermos a dependência temporal como e^{-i\omega t} comum a ambas as componentes espaciais e^{\pm i k x} (por exemplo \psi(x,t)=\sin(kx)\,e^{-i\omega t} com \omega=\hbar k^{2}/2m é solução). A forma viajante real \sin(kx-\omega t) com \omega=uk geralmente não satisfaz a equação de Schrödinger livre, a menos da condição de dispersão encontrada no passo anterior.

Resposta

i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}
Condição para que \psi=a\operatorname{sen}\!2\pi\!\left(\frac{x}{\lambda}-u t\right) seja solução:
u=\frac{\pi\hbar}{m\lambda}\quad\text{(equivalente a }\omega=\tfrac{\hbar k^{2}}{2m}\text{ com }k=\tfrac{2\pi}{\lambda}\text{).}

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