A partir das equações diferenciais abaixo, encontre suas soluções gerais.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y^{(6)} + y’’’ = x $. Estamos lidando com equações diferenciais de ordem superior, especificamente uma equação linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y^{(6)} + y’’’ = 0
x $).
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, precisamos encontrar as raízes da equação característica. Substituímos $ y^{(n)} $ por $ r^n $, o que nos dá:
Passo 4
Vamos fatorar a equação característica:
Isso nos dá duas partes para resolver: $ r^3 = 0 $ e $ r^3 + 1 = 0 $.
Passo 5
Resolvendo $ r^3 = 0 $, temos uma raiz tripla:
Agora, resolvendo $ r^3 + 1 = 0 $:
Passo 6
As raízes de $ r^3 = -1 $ são:
Passo 7
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ a $ C_6 $ são constantes arbitrárias.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y^{(6)} + y’’’ = x $. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos tentar uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Oops! Isso não funciona. Precisamos tentar uma forma diferente. Vamos então tentar:
Calculando as derivadas necessárias:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Assim, temos:
Como termos $ Cx + D $ já estão inclusos na solução homogênea, a solução particular simplificada é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y^{(6)} + y’’’ = x $ é:
Onde $ C_1 $ a $ C_6 $ são constantes arbitrárias.