A partir das equações diferenciais abaixo, encontre suas soluções gerais.
y^(6)+y^prime prime prime=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y^{(6)} + y’’’ = x $. Estamos lidando com equações diferenciais de ordem superior, especificamente uma equação linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y^{(6)} + y’’’ = 0 y^(6) + y''' = 0 éçã x $).

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, precisamos encontrar as raízes da equação característica. Substituímos $ y^{(n)} $ por $ r^n $, o que nos dá:
y^(n)

Passo 4

Vamos fatorar a equação característica:
r^3(r^3 + 1) = 0
Isso nos dá duas partes para resolver: $ r^3 = 0 $ e $ r^3 + 1 = 0 $.

Passo 5

Resolvendo $ r^3 = 0 $, temos uma raiz tripla:
r^3 = 0
Agora, resolvendo $ r^3 + 1 = 0 $:
r = 0, r = 0, r = 0

Passo 6

As raízes de $ r^3 = -1 $ são:
r^3 = -1
r = -1
r = 12 + raiz32i

Passo 7

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 + C2 x + C3 x^2 + C4 e^-x + e^12x ( C5 cos( raiz32x ) + C6 sin( raiz32x ) )
Aqui, $ C_1 $ a $ C_6 $ são constantes arbitrárias.

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y^{(6)} + y’’’ = x $. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos tentar uma solução particular da forma:
yp(x)
Derivando:
y^(6) + y''' = x
yp(x) = Ax + B
yp'(x) = A
yp''(x) = 0
yp'''(x) = 0
Substituindo na equação original:
dots
Oops! Isso não funciona. Precisamos tentar uma forma diferente. Vamos então tentar:
yp^(6)(x) = 0
Calculando as derivadas necessárias:
0 + 0 = x
yp(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D
Substituindo na equação:
yp'''(x) = 6Ax + 2B
Igualando os coeficientes:
yp^(6)(x) = 0
0 + (6Ax + 2B) = x
Assim, temos:
6A = 1 Rightarrow A = 16
Como termos $ Cx + D $ já estão inclusos na solução homogênea, a solução particular simplificada é:
2B = 0 Rightarrow B = 0

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y^{(6)} + y’’’ = x $ é:
y^(6) + y''' = x
Onde $ C_1 $ a $ C_6 $ são constantes arbitrárias.

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