Considere as seguintes soluções de uma equação diferencial
Determine se o conjunto de funções dado é linearmente dependente ou linearmente independente. Caso for linearmente dependente, encontre uma relação linear entre os elementos do conjunto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de funções $ y_{1}(x) = 2x - 3 $, $ y_{2}(x) = x^{2} + 1 $, $ y_{3}(x) = x^{2} + x + 1 $ e $ y_{4}(x) = 2x^{2} - x $. A pergunta é para descobrir se essas funções são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Se forem dependentes, temos que achar uma relação entre elas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e determinantes. Vamos precisar montar uma matriz com os coeficientes das funções e calcular o determinante para ver se ele é zero (dependentes) ou diferente de zero (independentes).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto de funções é linearmente dependente se pelo menos uma função pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Ou seja, existe uma relação $ c_1 y_1 + c_2 y_2 + c_3 y_3 + c_4 y_4 = 0 $, onde nem todos os $ c_i $ são zero.
Por outro lado, são linearmente independentes se a única solução para essa equação é $ c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0 $.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações usando as funções dadas. Para isso, vamos igualar a combinação linear a zero:
Vamos expandir isso:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa igualdade valha para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x $ devem ser zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Agora, vamos resolver esse sistema para ver se há uma solução não trivial (algum $ c_i $ diferente de zero).
Passo 5
Vamos montar a matriz dos coeficientes:
Observamos que temos 3 equações e 4 incógnitas, o que sugere que pode haver infinitas soluções, indicando dependência linear. Mas vamos confirmar isso.
Passo 6
Como temos mais incógnitas do que equações, podemos atribuir um valor livre a uma das variáveis. Vamos escolher $ c_4 = t $, onde $ t $ é um parâmetro real qualquer.
Substituindo $ c_4 = t $ na segunda equação:
Agora, substituindo $ c_3 = t - 2c_1 $ na primeira equação:
Por fim, substituindo $ c_2 = -3t + 2c_1 $ e $ c_3 = t - 2c_1 $ na terceira equação:
Passo 7
Agora, temos todas as variáveis em termos de $ t $:
Portanto, existe uma família de soluções não triviais para o sistema, o que confirma que as funções são linearmente dependentes.
Resposta
As funções são linearmente dependentes. Uma relação linear entre elas é: