1. A partir das equações de Maxwell para campos conservativos, pode-se definir que o campo elétrico pode ser obtido a partir do gradiente do potencial elétrico no ponto - em sentido contrário à variação. Esse gradiente deve ser calculado de acordo com o sistema de coordenadas adotado, pois apresenta fatores de conversão que dependem da escolha desse sistema, que pode ser cartesiano, cilíndrico ou esférico.
Considere um campo potencial, ou seja, o descritivo matemático de superficies equipotenciais, como definido por { }^{2}+2 z, em volts. Qual é o potencial V e o campo elétrico E, respectivamente, em um ponto \mathrm{P}(3,-1,4) ? \quad V=-3 x y
\bigcirc A. V=1 \mathrm{~V} e E=17 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.
\bigcirc B. V=1 \mathrm{~V} e E=18,35 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.
\bigcirc C. V=0 \mathrm{~V} e E=0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.
\bigcirc D. V=-1 \mathrm{~V} e E=17 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.
\bigcirc E. V=-1 \mathrm{~V} e E=18,35 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o potencial e o campo elétrico num ponto dado. Os dados que eu uso (interpretando o enunciado) são:
  • A função potencial é \displaystyle V(x,y,z) = -3xy + x^{2} + 2z (volts).
  • O ponto é \displaystyle P(3,-1,4).
  • A pergunta é: qual é \displaystyle V em P e qual é \displaystyle \mathbf{E} em P (valor e vetor; e vou também calcular a magnitude de \mathbf{E}).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): o campo elétrico para um potencial escalar V(x,y,z) em coordenadas cartesianas é dado por
\mathbf{E} = -\nabla V,
onde \nabla V (o gradiente de V) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\right).
Explicando devagar: \frac{\partial V}{\partial x} é a taxa de variação de V se só mudarmos x um pouquinho mantendo y,z fixos; o gradiente aponta na direção de maior crescimento de V. O campo elétrico é o negativo desse vetor porque cargas se movem no sentido de queda de potencial.

Passo 3

Vou calcular as derivadas parciais de \displaystyle V(x,y,z) = -3xy + x^{2} + 2z termo a termo.
  • Para \displaystyle \frac{\partial V}{\partial x}: trate y e z como constantes.
    • Derivada de -3xy em relação a x é -3y.
    • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
    • Derivada de 2z em relação a x é 0.
      Então
    \frac{\partial V}{\partial x} = -3y + 2x.
  • Para \displaystyle \frac{\partial V}{\partial y}: trate x e z como constantes.
    • Derivada de -3xy em relação a y é -3x.
    • x^{2} e 2z não dependem de y, então derivam para 0.
      Então
    \frac{\partial V}{\partial y} = -3x.
  • Para \displaystyle \frac{\partial V}{\partial z}: só o termo 2z depende de z, sua derivada é 2.
    Então
    \frac{\partial V}{\partial z} = 2.

Passo 4

Montando o gradiente:
\nabla V = \left(-3y + 2x,\; -3x,\; 2\right).
Portanto o campo elétrico é
\mathbf{E} = -\nabla V = \left(3y - 2x,\; 3x,\; -2\right).
Aqui cada componente tem unidade de \mathrm{V/m} (porque \nabla tem dimensões de 1/metro quando x,y,z são em metros).

Passo 5

Agora avalio V no ponto \displaystyle P(3,-1,4). Substituo x=3, y=-1, z=4 em
V(x,y,z) = -3xy + x^{2} + 2z.
Cálculo passo a passo:
-3xy = -3\cdot 3\cdot(-1) = -9\cdot(-1)=9,
x^{2} = 3^{2} = 9,
2z = 2\cdot 4 = 8.
Somando:
V(3,-1,4) = 9 + 9 + 8 = 26\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Agora avalio \mathbf{E} em P. Usei a fórmula das componentes
\mathbf{E} = \left(3y - 2x,\; 3x,\; -2\right).
Substituindo x=3, y=-1:
E_{x} = 3(-1) - 2(3) = -3 - 6 = -9,
E_{y} = 3(3) = 9,
E_{z} = -2.
Logo o vetor campo elétrico no ponto é
\mathbf{E}(3,-1,4) = (-9,\; 9,\; -2)\\ \mathrm{V/m}.

Passo 7

Para ter uma noção do módulo do campo (magnitude), calculo
\|\mathbf{E}\| = \sqrt{(-9)^{2} + 9^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{81 + 81 + 4} = \sqrt{166}.
Aproximando \sqrt{166} obtemos \sqrt{166}\approx 12,88. Portanto
\|\mathbf{E}(3,-1,4)\| \approx 12,88\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

V(3,-1,4)=26\\ \mathrm{V}\n \mathbf{E}(3,-1,4)=(-9,\;9,\;-2)\\ \mathrm{V/m} (módulo \|\mathbf{E}\|\approx 12,88\\ \mathrm{V/m})

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