- A partir das equações de Maxwell para campos conservativos, pode-se definir que o campo elétrico pode ser obtido a partir do gradiente do potencial elétrico no ponto - em sentido contrário à variação. Esse gradiente deve ser calculado de acordo com o sistema de coordenadas adotado, pois apresenta fatores de conversão que dependem da escolha desse sistema, que pode ser cartesiano, cilíndrico ou esférico.
Considere um campo potencial, ou seja, o descritivo matemático de superficies equipotenciais, como definido por
, em volts. Qual é o potencial V e o campo elétrico E, respectivamente, em um ponto
A.
e
.
B.
e
.
C.
e
.
D.
e
.
E.
e
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o potencial e o campo elétrico num ponto dado. Os dados que eu uso (interpretando o enunciado) são:
- A função potencial é
(volts). - O ponto é
. - A pergunta é: qual é
em e qual é em (valor e vetor; e vou também calcular a magnitude de ).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): o campo elétrico para um potencial escalar
em coordenadas cartesianas é dado por
onde
(o gradiente de
) é o vetor das derivadas parciais:
Explicando devagar:
é a taxa de variação de
se só mudarmos
um pouquinho mantendo
fixos; o gradiente aponta na direção de maior crescimento de
. O campo elétrico é o negativo desse vetor porque cargas se movem no sentido de queda de potencial.
Passo 3
Vou calcular as derivadas parciais de
termo a termo.
-
Para
: trate e como constantes. - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então
- Derivada de
-
Para
: trate e como constantes. - Derivada de
em relação a é . -
e não dependem de , então derivam para .
Então
- Derivada de
-
Para
: só o termo depende de , sua derivada é .
Então
Passo 4
Montando o gradiente:
Portanto o campo elétrico é
Aqui cada componente tem unidade de
(porque
tem dimensões de 1/metro quando
são em metros).
Passo 5
Agora avalio
no ponto
. Substituo
,
,
em
Cálculo passo a passo:
Somando:
Passo 6
Agora avalio
em
. Usei a fórmula das componentes
Substituindo
,
:
Logo o vetor campo elétrico no ponto é
Passo 7
Para ter uma noção do módulo do campo (magnitude), calculo
Aproximando
obtemos
. Portanto