Considerando duas cargas pontuais, \mathrm{Q}_{\mathrm{A}} de 3 \mu \mathrm{C} e \mathrm{Q}_{\mathrm{B}} de - 3 \mu \mathrm{C}, situadas em um plano cartesiano nos pontos \mathrm{A}(0,4,-2) e \mathrm{B}(2,-1,3), e uma constante K_{O}=1 /(4 \pi \varepsilon)=9.10^{\circ} N \cdot m^{2} / C^{2}, determine o potencial elétrico na origem.
\bigcirc A. -2,36 \mathrm{kV}.
\bigcirc B. -1,18 \mathrm{kV}.
\bigcirc C. 0 V .
\bigcirc D. 1,18 \mathrm{kV}.
\bigcirc E. 2,36 \mathrm{kV}.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico no ponto origem devido a duas cargas pontuais. Informações dadas:\n
Q_A=3\\ \mu\mathrm{C} localizada em A(0,4,-2).\n
Q_B=-3\\ \mu\mathrm{C} localizada em B(2,-1,3).\n
Constante K_{0}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon}=9\cdot 10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} (interpreto 9.10^{\circ} do enunciado como 9\cdot 10^{9}).\n
Pergunta: calcular o potencial elétrico total V na origem (0,0,0).

Passo 2

Conceito essencial (aula rápida e prática): o potencial elétrico devido a uma única carga pontual Q numa distância r é dado por\n
V = K_{0}\,\frac{Q}{r},
onde V está em volts, Q em coulombs e r em metros. Aqui K_{0} é a constante eletrostática. O potencial é uma grandeza escalar, então para várias cargas usamos o princípio da superposição: somamos os potenciais individuais. Ou seja,\n
V_{\text{total}}=K_{0}\left(\frac{Q_A}{r_A}+\frac{Q_B}{r_B}\right).
Expliquei isso porque é a fórmula que você deve lembrar na prova: potencial de ponto + superposição.

Passo 3

Calcular as distâncias da origem às cargas (distância euclidiana 3D). Primeiro para A(0,4,-2):\n
r_A=\sqrt{0^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,4721\\ \mathrm{m}.
Agora para B(2,-1,3):\n
r_B=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}\approx 3,7417\\ \mathrm{m}.
Obs.: mostrei as raízes exatas ( \sqrt{20}, \sqrt{14}) e os valores aproximados para continuar os cálculos numéricos sem calculadora complexa.

Passo 4

Converter as cargas para coulombs (unidade do SI):\n
Q_A=3\\ \mu\mathrm{C}=3\times 10^{-6}\\ \mathrm{C},\n
Q_B=-3\\ \mu\mathrm{C}=-3\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}.
É importante sempre transformar \mu\mathrm{C} para \mathrm{C} antes de aplicar a fórmula.

Passo 5

Aplicar a fórmula do potencial total. Para simplificar, fatoramos 3\times 10^{-6}:\n
V=K_{0}\left(\frac{Q_A}{r_A}+\frac{Q_B}{r_B}\right) =K_{0}\left(\frac{3\times 10^{-6}}{r_A}+\frac{-3\times 10^{-6}}{r_B}\right) =3\times 10^{-6}\,K_{0}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right).

Passo 6

Calcular \dfrac{1}{r_A} e \dfrac{1}{r_B} com as aproximações anteriores:\n
\frac{1}{r_A}\approx \frac{1}{4,4721}\approx 0,22361,\n
\frac{1}{r_B}\approx \frac{1}{3,7417}\approx 0,26726.\n
Fazendo a diferença:\n
\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\approx 0,22361-0,26726=-0,04365.

Passo 7

Calcular o potencial numérico final usando K_{0}=9\cdot 10^{9}:\n
V=3\times 10^{-6}\times 9\times 10^{9}\times(-0,04365).\n
Primeiro combine os fatores científicos:\n
3\times 10^{-6}\times 9\times 10^{9}=27\times 10^{3}=2,7\times 10^{4}.\n
Então\n
V\approx 2,7\times 10^{4}\times(-0,04365)=-1178,7\\ \mathrm{V}.\n
Arredondando para três algarismos significativos e convertendo para kilovolts:\n
V\approx -1,18\\ \mathrm{kV}.

Resposta

-1,18\\ \mathrm{kV}

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