A partir da função de transferência a seguir, faça o que se pede:
encontre
e
;
encontre os polos do sistema;
reposta ao impulso unitário
;
resposta ao degrau unitário
;
resposta à rampa unitária
;
encontre
; e
desenhe o sinal de saída.
encontre os polos do sistema;
reposta ao impulso unitário
resposta ao degrau unitário
resposta à rampa unitária
encontre
desenhe o sinal de saída.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de transferência do sistema entre entrada
e saída
:
As perguntas são (vou listar exatamente o que pediram):
- encontre
e ; - encontre os polos do sistema;
- resposta ao impulso unitário
; - resposta ao degrau unitário
; - resposta à rampa unitária
; - encontre
; - desenhe (esboce) o sinal de saída.
Informações relevantes dadas:
- Denominador:
. - Numerador constante:
.
Agora começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Identificar
e
comparando com a forma padrão de um sistema de segunda ordem:
Aqui o denominador é
. Então, igualando coeficientes:
Agora calculo
e
.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Breve comentário didático:
é a frequência natural (rad/s) do oscilador sem amortecimento;
é o coeficiente de amortecimento adimensional (damping ratio). Quando
o sistema é subamortecido (oscila com decaimento exponencial).
Passo 3
Encontro os polos resolvendo a equação característica
. Uso fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa dentro da raiz quadrada, os polos são complexos conjugados:
Calculo numérico da parte imag:
Logo os polos são
Comentário alternativo em termos de
e
: as partes reais são
(confirmado) e a frequência amortecida
.
Passo 4
Resposta ao impulso unitário
.
Procedimento didático:
- A resposta ao impulso é a transformada inversa de
. - É útil escrever
na forma para usar fórmulas padrão.
Calculo do ganho
:
Portanto
Fórmula padrão (aula rápida):
- Para o sistema padrão
, a resposta ao impulso é
onde
.
- Se multiplicarmos por
, a resposta ao impulso multiplica por .
Aplicando ao nosso caso:
Substituindo os valores numéricos (opcional):
Então numericamente
Explicação curta para a prova: a forma
aparece sempre para respostas de sistemas subamortecidos; o prefator
vem da transformada inversa da razão de polinômios.
Passo 5
Resposta ao degrau unitário
.
Procedimento didático:
- Para entrada degrau unitário
temos e . - A resposta ao degrau do sistema padrão com ganho DC igual a
(como definimos) tem forma:
onde
(essa forma garante
).
Aplicando ao nosso caso com
:
Valores numéricos importantes para esboço e cálculo:
Portanto a expressão numérica é
Comentário didático: o valor final (estado estacionário) para um degrau unitário é
. A forma apresentada mostra explicitamente o termo permanente
e o termo transitório oscilatório amortecido que se anula quando
.
Passo 6
Resposta à rampa unitária
(entrada
,
).
Estratégia: calcular
e inverter a transformada por frações parciais. Vou fazer a decomposição com detalhes (é pedagógico e útil na prova).
Procuramos constantes
tais que
Multiplico ambos os lados por
e igualo polinômios:
Expandindo e agrupando coeficientes (passo-a-passo):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente independente:
.
Resolvendo:
Da equação de
:
Da
vem
.
Da equação de :
Da equação de
Portanto a decomposição é
Agora faço a inversa de Laplace do último termo escrevendo o denominador na forma com deslocamento:
Reescrevo o numerador
como
Assim
Usando fórmulas padrão de transformada inversa:
e
Com tudo isso, a inversa completa é:
onde
.
Comentário sobre comportamento: o termo
cresce indefinidamente (porque o sistema é do tipo 0, não tem integrador), então a saída cresce com o tempo dominada por
mais um termo constante e um termo oscilatório amortecido. Isso implica erro em regime para uma rampa que cresce indefinidamente (o sistema não consegue acompanhar perfeitamente uma rampa sem integrador).
Passo 7
Calcular
numericamente (valor da resposta ao degrau no instante
s).
Usarei a fórmula de
do Passo 5:
Parâmetros numéricos exatos usados:
Calculo do seno:
Agora o produto:
Substituindo em
:
Portanto
. Comentário: o valor é maior que o valor em regime (
), ou seja houve overshoot grande devido ao baixo amortecimento.
Passo 8
Desenho (esboço) do sinal de saída — orientação prática para riscar no caderno (passo a passo para o esboço):
- Vou descrever o esboço do sinal de saída para a entrada degrau unitário
(que é a forma usual pedida quando se diz “desenhe o sinal de saída”). As mesmas características valem qualitativamente para impulso e rampa com diferenças que mencionei antes. - Picos e tempos importantes:
- Valor final em regime:
. - Valor inicial:
. - Overshoot grande (porque
é pequeno): o primeiro pico passa bem acima de (por exemplo em a dependendo da fase). - Período das oscilações amortecidas:
(aprox. s). - Envoltória exponencial: decaimento aproximadamente
(constante de tempo s), portanto as oscilações demoram alguns períodos para se atenuar visivelmente.
- Valor final em regime:
- Como desenhar: no eixo vertical marque
e . A curva sai de , sobe rapidamente, cruza , atinge primeiro máximo perto de entre e s (neste sistema o primeiro pico ocorre antes de 1,5 s e seu valor podemos estimar com a fórmula), volta abaixo de , oscila com período ~3 s e amplitude decrescente segundo , convergindo para 4. - Para
(impulso): desenhe uma senoide amortecida iniciando em zero (máxima slope), oscilando com mesma frequência e decaindo com a mesma envoltória . - Para
(rampa): a saída tem um termo dominante (reta crescente) mais pequenas oscilações amortecidas em torno dessa reta e menos um pequeno deslocamento constante .
Observação motivacional: imagina uma corda vibrando que é empurrada — a saída sobe, faz uma sacudida grande e depois vai se acalmando até o alvo. Tá ótimo — dá pra esboçar rápido e mostrar os parâmetros principais (valor final 4, período ≈3 s, taxa de decaimento ≈1/4 s^{-1}).
Resposta
Polos:
(ou numericamente
(ou numericamente
(onde
Desenho/esboço: saída ao degrau começa em