A partir da função de transferência a seguir, faça o que se pede:
encontre
e
;
encontre os polos do sistema;
reposta ao impulso unitário
;
resposta ao degrau unitário
;
resposta à rampa unitária
;
encontre
; e
desenhe o sinal de saída.
encontre os polos do sistema;
reposta ao impulso unitário
resposta ao degrau unitário
resposta à rampa unitária
encontre
desenhe o sinal de saída.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e pede (tudo que vou usar está aqui).
- A função de transferência fornecida é
O enunciado pede (cada item separado):
- Encontrar
e . - Encontrar os polos do sistema.
- Obter a resposta ao impulso unitário
. - Obter a resposta ao degrau unitário
. - Obter a resposta à rampa unitária
. - Calcular
. - Desenhar (descrever) o sinal de saída.
Tenho então como dados relevantes a expressão do denominador
e o numerador constante
. A partir disso serão determinados
,
, polos e as transformadas inversas.
Passo 2
Encontrar
e
(a explicação do porquê).
- Para um sistema de segunda ordem padrão, o denominador se escreve como
Aqui o denominador é
. Igualando termos obtemos
- Da primeira igualdade,
- Da segunda,
Breve explicação didática:
-
é a frequência natural não amortecida (em rad/s). Dá a escala de frequência do sistema. -
é o coeficiente de amortecimento (damping ratio). Se o sistema é subamortecido e apresenta oscilações amortecidas; se é criticamente amortecido; se é superamortecido.
Portanto,
Passo 3
Encontrar os polos do sistema (cálculo passo a passo).
Os polos são as raízes do denominador
. Uso a fórmula quadrática:
O discriminante é
, logo as raízes são complexas:
Observação/checagem: para
e
temos
e
. Os polos podem também ser escritos como
Passo 4
Resposta ao impulso unitário
— derivação didática.
Queremos a transformada inversa de
quando a entrada é o impulso unitário
(no domínio de Laplace
). Assim
é a inversa de
.
- Para sistemas subamortecidos (
), é útil usar . Calculamos
- A forma padrão conhecida: a inversa de
é
- Nosso numerador é
. Escrevemos pois . Assim
- Substituindo
,
Interpretação: é uma senoide com frequência
e amplitude decrescente exponencialmente com taxa
(isto é, decai como
), e o sinal inicial é negativo por causa do numerador
.
Passo 5
Resposta ao degrau unitário
— passo a passo com frações parciais.
Entrada degrau unitário:
com
. Então
Faço decomposição em frações parciais na forma
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Comparando coeficientes (ou avaliando em valores convenientes) encontramos
,
,
. (Mostra rápida: testar
dá
. Depois igualar coeficientes de
e
dá
e
.)
Agora escrevo a parte transitória com completamento de quadrado:
com
já calculado. Reescrevo o numerador:
Inversas conhecidas:
Portanto, juntando tudo:
Substituindo
e calculando
, obtemos a forma numérica
Checagem física: o valor em regime permanente (limite t→∞) é
, que coincide com
. Como
, observa-se oscilações amortecidas em torno desse valor.
Passo 6
Resposta à rampa unitária
— derivação completa.
Entrada rampa unitária
tem
. Então
Faço decomposição em frações parciais na forma
Multiplicando por
e igualando coeficientes obtemos o sistema (detalhado no desenvolvimento):
- Da constante:
⇒ . - Da equação do termo em
: ⇒ com achado vem . - Dos demais termos obtém-se
e .
Assim
Reescrevendo o numerador do último termo em função de
:
Tomando inversa de Laplace e usando as transformadas conhecidas, obtemos
Com
e
, a forma numérica é
Interpretação: para entradas rampa o termo dominante de longo prazo é
(pois
multiplica a rampa), portanto a saída tende para
com inclinação
; o resto é um transiente oscilatório amortecido em torno dessa reta.
Passo 7
Calcular
(substituição numérica, passo a passo).
Usamos a expressão do degrau:
com
.
- Primeiro calcule
. - Depois
rad. -
. -
. - Então
. - E
. - Soma interna:
. - Multiplicando pelo exponencial:
. - Finalmente
.
Arredondando razoavelmente,
Passo 8
Desenho / descrição qualitativa do sinal de saída (formas para cada entrada) — explicação para a prova.
-
Impulso
: é uma oscilação senoidal amortecida multiplicada por um fator negativo. Assim o gráfico tem uma oscilação iniciando com pico negativo, com amplitude decaindo exponencialmente com constante de decaimento . Visualmente: seno decrescente que cruza o zero e oscila, aproximando-se de zero por cima e por baixo, com amplitude cada vez menor. -
Degrau
: inicia com uma oscilação transitória amortecida em torno do valor de regime permanente . O gráfico mostra sobre- e sub-oscilações (por ser subamortecido), com amplitude decrescente e tendência para o nível constante . -
Rampa
: tem uma componente dominante linear negativa de inclinação (reta que decresce indefinidamente), sobre a qual existe um transiente oscilatório amortecido. Ou seja, o gráfico é aproximadamente uma reta inclinada para baixo com pequenas oscilações amortecidas em torno dessa reta.
Se for necessário esboçar à mão na prova: marque o eixo tempo horizontal, para degrau desenhe uma curva que oscila e converge para
; para rampa desenhe uma reta com declive
mais pequenas oscilações que somem com o tempo.
Resposta
Polos:
Formas: impulso — oscilação amortecida negativa inicial; degrau — oscilações amortecidas convergindo para