A partir da função de transferência a seguir, faça o que se pede:
encontre
e
;
encontre os polos do sistema;
reposta ao impulso unitário
;
resposta ao degrau unitário
;
resposta à rampa unitária
;
encontre
; e
desenhe o sinal de saída.
encontre os polos do sistema;
reposta ao impulso unitário
resposta ao degrau unitário
resposta à rampa unitária
encontre
desenhe o sinal de saída.
Passo 1
O enunciado fornece a função de transferência
As perguntas são (vou listar exatamente o que pediram):
- Encontrar
e . - Encontrar os polos do sistema.
- Calcular a resposta ao impulso unitário
. - Calcular a resposta ao degrau unitário
. - Calcular a resposta à rampa unitária
. - Calcular
. - Desenhar (ou descrever) o sinal de saída.
Informações relevantes dadas:
- A função de transferência é um sistema de segunda ordem com denominador
. - Não foi dada nenhuma outra condição inicial; presume-se condições nulas (sistema em repouso antes
).
Passo 2
Entender como extrair
e
de uma função de segunda ordem (mini-aula):
- A forma padrão canônica de um sistema de segunda ordem (denominador) é
onde:
-
é a frequência natural não amortecida (rad/s); -
é o fator de amortecimento (damping ratio), sem dimensão. - Para comparar, igualamos os coeficientes do denominador dado com a forma padrão.
Aplicando isso ao denominador
: igualando termo a termo temos
Primeiro obtenho
tomando raiz quadrada:
Em seguida encontro
isolando em
:
Interpretação rápida:
indica sistema superamortecido (sem oscilações, polos reais distintos).
Passo 3
Encontrar os polos do sistema (mini-aula e passo a passo):
- Os polos são as raízes do denominador
. - Resolvo a equação quadrática. Ela fatoriza facilmente:
Logo as raízes (polos) são
Comentário físico: polos reais negativos indicam respostas exponenciais decrescentes; dois polos distintos e reais confirmam o caso superamortecido.
Passo 4
Resposta ao impulso unitário
(explicação e cálculo passo a passo):
- A resposta ao impulso é a transformada inversa de
quando (impulso tem ). - Então
. - Faço frações parciais: procuro
e tais que
Multiplicando por
dá
. Avaliando em
e
:
- Em
: . - Em
: . - Então
- Inverso de Laplace:
. Assim, com condições nulas e para ,
Observações:
(bom comportamento inicial) e
quando
.
Passo 5
Resposta ao degrau unitário
(explicação e cálculo):
- Para degrau unitário
, temos . Então
- Faço frações parciais procurando
tais que
Multiplicando por
obtemos
.
Avalio em pontos fáceis:
Avalio em pontos fáceis:
- Em
: - Em
: - Em
: - Assim
- Inverso de Laplace termo a termo (lembrando
e ):
- Verificações rápidas:
- Valor inicial:
(esperado para sistema em repouso). - Valor final (steady-state):
. Também pode-se obter por Teorema do Valor Final:
- Valor inicial:
Passo 6
Resposta à rampa unitária
(explicação e cálculo):
- Entrada rampa unitária
tem . - Então
- Faço frações parciais no formato
Multiplicando ambos os lados por
dá
Avalio em pontos convenientes:
- Em
: - Em
: - Em
: - Para achar
uso, por exemplo, uma igualdade de coeficientes ou um valor numérico, tomo : Substituindo obtém-se daí e . - Logo os coeficientes são
. - Agora aplico inverso de Laplace termo a termo, lembrando que
e :
- Verificações:
-
(compatível com início em repouso). - Para
grande o comportamento domina o termo linear : a saída acompanha uma rampa de inclinação mais uma constante ; os exponenciais desaparecem. Isso significa erro de seguimento crescente (sistema do tipo 0 não acompanha perfeitamente rampa sem erro).
-
Passo 7
Calcular
(aviso: uso aproximações numéricas):
- Lembre que
- Substituo
:
- Valores aproximados:
, . - Então
- Arredondando razoavelmente:
Passo 8
Desenho/descrição do sinal de saída (interpretação e instruções para desenhar à mão):
- Como o sistema é superamortecido (polos reais em
e ), todas as respostas transitórias são somas de decaimentos exponenciais sem oscilações. - Para o degrau unitário
: - Ponto inicial:
. - Derivada inicial:
(o traço começa horizontal). - Curvatura inicial positiva (começa devagar e acelera um pouco), depois desacelera e aproxima-se assintoticamente de
por baixo. - Forma típica: curva monótona crescente que se aproxima exponencialmente de
sem ultrapassá-la.
- Ponto inicial:
- Sugestão prática para desenhar:
- Eixo horizontal: tempo
(marque por exemplo). - Eixo vertical: saída
(marque e ). - Plote pontos:
, (pode calcular rápido), , , depois bem mais próximo de . - Una-os com uma curva suave crescente que nunca ultrapassa
.
- Eixo horizontal: tempo
- Se for a saída para rampa
: desenhar uma reta de inclinação deslocada pela constante para grandes , com correções exponenciais no início que fazem a curva sair de e rapidamente aproximar a reta assintótica.
Resposta
Polos:
Saída para degrau: curva monótona crescente que parte de