A partir da função de transferência a seguir, faça o que se pede:
\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{s^{2}+3 s+2}
encontre \xi e \omega_{n};
encontre os polos do sistema;
reposta ao impulso unitário \left(y_{1}(t)\right);
resposta ao degrau unitário \left(y_{2}(t)\right);
resposta à rampa unitária \left(y_{3}(t)\right);
encontre y_{2}(0.8); e
desenhe o sinal de saída.

Passo 1

O enunciado fornece a função de transferência
\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{s^{2}+3s+2}.
As perguntas são (vou listar exatamente o que pediram):
  • Encontrar \xi e \omega_{n}.
  • Encontrar os polos do sistema.
  • Calcular a resposta ao impulso unitário y_{1}(t).
  • Calcular a resposta ao degrau unitário y_{2}(t).
  • Calcular a resposta à rampa unitária y_{3}(t).
  • Calcular y_{2}(0,8).
  • Desenhar (ou descrever) o sinal de saída.
Informações relevantes dadas:
  • A função de transferência é um sistema de segunda ordem com denominador s^{2}+3s+2.
  • Não foi dada nenhuma outra condição inicial; presume-se condições nulas (sistema em repouso antes t=0^{-}).

Passo 2

Entender como extrair \xi e \omega_{n} de uma função de segunda ordem (mini-aula):
  • A forma padrão canônica de um sistema de segunda ordem (denominador) é
s^{2}+2\xi\omega_{n}s+\omega_{n}^{2},
onde:
  • \omega_{n}>0 é a frequência natural não amortecida (rad/s);
  • \xi é o fator de amortecimento (damping ratio), sem dimensão.
  • Para comparar, igualamos os coeficientes do denominador dado com a forma padrão.
Aplicando isso ao denominador s^{2}+3s+2: igualando termo a termo temos
\omega_{n}^{2}=2, \qquad 2\xi\omega_{n}=3.
Primeiro obtenho \omega_{n} tomando raiz quadrada:
\omega_{n}=\sqrt{2}.
Em seguida encontro \xi isolando em 2\xi\omega_{n}=3:
\xi=\frac{3}{2\omega_{n}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}.
Interpretação rápida: \xi\approx1{,}0607>1 indica sistema superamortecido (sem oscilações, polos reais distintos).

Passo 3

Encontrar os polos do sistema (mini-aula e passo a passo):
  • Os polos são as raízes do denominador s^{2}+3s+2=0.
  • Resolvo a equação quadrática. Ela fatoriza facilmente:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Logo as raízes (polos) são
s=-1\quad\text{e}\quad s=-2.
Comentário físico: polos reais negativos indicam respostas exponenciais decrescentes; dois polos distintos e reais confirmam o caso superamortecido.

Passo 4

Resposta ao impulso unitário y_{1}(t) (explicação e cálculo passo a passo):
  • A resposta ao impulso é a transformada inversa de \dfrac{Y(s)}{R(s)} quando R(s)=1 (impulso \delta(t) tem R(s)=1).
  • Então Y(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}.
  • Faço frações parciais: procuro A e B tais que
\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando por (s+1)(s+2) 1=A(s+2)+B(s+1). Avaliando em s=-1 e s=-2:
  • Em s=-1: 1=A(1)\Rightarrow A=1.
  • Em s=-2: 1=B(-1)\Rightarrow B=-1.
  • Então
\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.
  • Inverso de Laplace: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}u(t). Assim, com condições nulas e para t\ge 0,
y_{1}(t)=e^{-t}-e^{-2t}.
Observações: y_{1}(0)=0 (bom comportamento inicial) e y_{1}(t)\to 0 quando t\to\infty.

Passo 5

Resposta ao degrau unitário y_{2}(t) (explicação e cálculo):
  • Para degrau unitário r(t)=u(t), temos R(s)=1/s. Então
Y(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}.
  • Faço frações parciais procurando A,B,C tais que
\frac{1}{s(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}.
Multiplicando por s(s+1)(s+2) obtemos 1=A(s+1)(s+2)+B s(s+2)+C s(s+1).
Avalio em pontos fáceis:
  • Em s=0: 1=A(1)(2)\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
  • Em s=-1: 1=B(-1)(1)\Rightarrow B=-1.
  • Em s=-2: 1=C(-2)(-1)\Rightarrow C=\tfrac{1}{2}.
  • Assim
Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+2}.
  • Inverso de Laplace termo a termo (lembrando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}):
y_{2}(t)=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t},\qquad t\ge 0.
  • Verificações rápidas:
    • Valor inicial: y_{2}(0)=\tfrac{1}{2}-1+\tfrac{1}{2}=0 (esperado para sistema em repouso).
    • Valor final (steady-state): \lim_{t\to\infty}y_{2}(t)=\tfrac{1}{2}. Também pode-se obter por Teorema do Valor Final:
    \lim_{t\to\infty}y_{2}(t)=\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}\frac{s}{s(s+1)(s+2)}=\frac{1}{(1)(2)}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Resposta à rampa unitária y_{3}(t) (explicação e cálculo):
  • Entrada rampa unitária r(t)=t\,u(t) tem R(s)=1/s^{2}.
  • Então
Y(s)=\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s^{2}(s+1)(s+2)}.
  • Faço frações parciais no formato
\frac{1}{s^{2}(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+1}+\frac{D}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+1)(s+2)
1=A\,s(s+1)(s+2)+B\,(s+1)(s+2)+C\,s^{2}(s+2)+D\,s^{2}(s+1).
Avalio em pontos convenientes:
  • Em s=0: 1=B(1)(2)\Rightarrow B=\tfrac{1}{2}.
  • Em s=-1: 1=C(1)(1)\Rightarrow C=1.
  • Em s=-2: 1=D(4)(-1)\Rightarrow D=-\tfrac{1}{4}.
  • Para achar A uso, por exemplo, uma igualdade de coeficientes ou um valor numérico, tomo s=1: 1=A\cdot1\cdot2\cdot3+B\cdot2\cdot3+C\cdot1\cdot3+D\cdot1\cdot2.Substituindo B=\tfrac{1}{2},C=1,D=-\tfrac{1}{4} obtém-se 1=6A+6\cdot\frac{1}{2}+3\cdot1+2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=6A+3+3-0{,}5=6A+5{,}5,daí 6A=1-5{,}5=-4{,}5 e A=-\tfrac{3}{4}.
  • Logo os coeficientes são A=-\tfrac{3}{4},\\ B=\tfrac{1}{2},\\ C=1,\\ D=-\tfrac{1}{4}.
  • Agora aplico inverso de Laplace termo a termo, lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}}\}=t e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1:
y_{3}(t)=-\frac{3}{4} + \frac{1}{2}\,t + e^{-t} -\frac{1}{4}e^{-2t},\qquad t\ge 0.
  • Verificações:
    • y_{3}(0)=-\tfrac{3}{4}+0+1-\tfrac{1}{4}=0 (compatível com início em repouso).
    • Para t grande o comportamento domina o termo linear \tfrac{1}{2}t: a saída acompanha uma rampa de inclinação \tfrac{1}{2} mais uma constante -\tfrac{3}{4}; os exponenciais desaparecem. Isso significa erro de seguimento crescente (sistema do tipo 0 não acompanha perfeitamente rampa sem erro).

Passo 7

Calcular y_{2}(0,8) (aviso: uso aproximações numéricas):
  • Lembre que
y_{2}(t)=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}.
  • Substituo t=0{,}8:
y_{2}(0{,}8)=\frac{1}{2}-e^{-0{,}8}+\frac{1}{2}e^{-1{,}6}.
  • Valores aproximados: e^{-0{,}8}\approx 0{,}449329, e^{-1{,}6}\approx 0{,}201897.
  • Então
y_{2}(0{,}8)\approx 0{,}5-0{,}449329+0{,}5\cdot0{,}201897 =0{,}5-0{,}449329+0{,}1009485 \approx 0{,}1516195.
  • Arredondando razoavelmente:
y_{2}(0{,}8)\approx 0{,}15162.

Passo 8

Desenho/descrição do sinal de saída (interpretação e instruções para desenhar à mão):
  • Como o sistema é superamortecido (polos reais em -1 e -2), todas as respostas transitórias são somas de decaimentos exponenciais sem oscilações.
  • Para o degrau unitário y_{2}(t)=\tfrac{1}{2}-e^{-t}+\tfrac{1}{2}e^{-2t}:
    • Ponto inicial: y_{2}(0)=0.
    • Derivada inicial: y_{2}'(0)=0 (o traço começa horizontal).
    • Curvatura inicial positiva (começa devagar e acelera um pouco), depois desacelera e aproxima-se assintoticamente de y=1/2 por baixo.
    • Forma típica: curva monótona crescente que se aproxima exponencialmente de 1/2 sem ultrapassá-la.
  • Sugestão prática para desenhar:
    • Eixo horizontal: tempo t (marque 0,\,0{,}5,\,1{,}0,\,2{,}0 por exemplo).
    • Eixo vertical: saída y (marque 0 e 0{,}5).
    • Plote pontos: y_{2}(0)=0, y_{2}(0{,}5) (pode calcular rápido), y_{2}(0{,}8)\approx 0{,}1516, y_{2}(1)\approx 0{,}5-e^{-1}+0{,}5e^{-2}\approx 0{,}2325, depois y_{2}(2) bem mais próximo de 0{,}5.
    • Una-os com uma curva suave crescente que nunca ultrapassa 0{,}5.
  • Se for a saída para rampa y_{3}(t): desenhar uma reta de inclinação 1/2 deslocada pela constante -3/4 para grandes t, com correções exponenciais no início que fazem a curva sair de 0 e rapidamente aproximar a reta assintótica.

Resposta

\displaystyle \xi=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}, \displaystyle \omega_{n}=\sqrt{2}.
Polos: s=-1 e s=-2.
y_{1}(t)=e^{-t}-e^{-2t},\quad t\ge 0.
y_{2}(t)=\dfrac{1}{2}-e^{-t}+\dfrac{1}{2}e^{-2t},\quad t\ge 0.
y_{3}(t)=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}t+e^{-t}-\dfrac{1}{4}e^{-2t},\quad t\ge 0.
y_{2}(0{,}8)\approx 0{,}15162.
Saída para degrau: curva monótona crescente que parte de 0, começa horizontal, e aproxima-se assintoticamente de 0{,}5 sem oscilações (assintota y=\tfrac{1}{2}).

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