A partir da Lei Circuital de Ampère, determinar o campo magnético nos seguintes dispositivos:
Toróide ideal com distribuição superficial de corrente \overrightarrow{\mathrm{K}}=\mathrm{K}_{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{Z}} em \rho=\rho_{\mathrm{o}}-a, \quad \mathrm{z}=0, sendo \rho_{\mathrm{o}} o raio médio e \underline{a} o raio da seção transversal do anel toroidal e, também, se o toróide possuir N espiras nas quais flui uma corrente I.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético gerado por um toróide ideal. As informações dadas são:
  • Há um toróide de raio médio \rho_{o} e raio da seção transversal a.
  • Existe uma distribuição superficial de corrente \overrightarrow{K} = K_{a}\,\overrightarrow{a}_{\varphi} (aqui vou explicar e justificar abaixo por que troquei a direção para \overrightarrow{a}_{\varphi}; é a interpretação física consistente) concentrada na região do toro, aproximadamente em \rho \approx \rho_{o}.
  • Também pediram o caso usual de um toróide com N espiras, cada uma com corrente I.
O que exatamente é pedido:
  • Determinar \overrightarrow{B}(\rho) (campo magnético em função de \rho) no espaço (pelo menos nas três regiões relevantes: interior do buraco do toróide, na região do próprio toro / núcleo e fora do toro).
  • Relacionar o caso de corrente superficial \overrightarrow{K} com o caso discreto N espiras com corrente I.
Observação importante (assunção necessária): a notação do enunciado original escrevia \overrightarrow{a}_{Z}. Geometricamente, uma corrente que cria o campo toroidal típico do toróide deve circular ao redor do eixo (isto é, ser azimutal). Por isso vou assumir que a distribuição superficial de corrente é azimutal, isto é \overrightarrow{K}=K_{a}\,\overrightarrow{a}_{\varphi}. Se a intenção fosse outra direção, a resposta muda qualitativamente — mas para o toróide físico padrão a corrente é azimutal. Vou proceder com essa interpretação e justifico na próxima etapa.

Passo 2

Breve aula sobre a Lei Circuital de Ampère (versão integral) e por que é útil aqui.
A Lei de Ampère (no vácuo, e em forma integral) diz:
\oint_{\mathcal{C}} \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\ell}=\mu_{0}\,I_{\text{enc}},
onde
  • \mathcal{C} é um contorno fechado arbitrário,
  • d\overrightarrow{\ell} é o elemento de comprimento ao longo de \mathcal{C},
  • I_{\text{enc}} é a corrente elétrica líquida que atravessa qualquer superfície cujo bordo seja \mathcal{C},
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo.
Estratégia prática para problemas com simetria: escolher uma curva amperiana \mathcal{C} onde \overrightarrow{B} tem direção conhecida e módulo uniforme sobre \mathcal{C}. No toróide ideal (simetria toroidal) a escolha natural é um círculo centrado no eixo z, de raio \rho, no plano z= constante. Esse círculo tem tangente na direção \overrightarrow{a}_{\varphi}. Pelo argumento de simetria (o toróide é simétrico por rotação em \varphi), o campo magnético resultante também será azimutal e depende só de \rho: \overrightarrow{B}(\rho)=B_{\varphi}(\rho)\,\overrightarrow{a}_{\varphi}. Assim o lado esquerdo da lei de Ampère fica simples:
\oint_{\mathcal{C}} \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\ell}=B_{\varphi}(\rho)\oint_{\mathcal{C}} d\ell = B_{\varphi}(\rho)\,(2\pi \rho).
Resta encontrar I_{\text{enc}}: a corrente total que atravessa a superfície plana cujo bordo é esse círculo de raio \rho.

Passo 3

Identificação das regiões geométricas e o que o Amperiano “enxerga” em cada região.
O toro tem uma seção circular de raio a cujo centro está a distância \rho_{o} do eixo. Portanto as três regiões radiais relevantes são:
  1. Região interna ao buraco: 0\le \rho < \rho_{o}-a.
  2. Região do próprio toro (núcleo): \rho_{o}-a < \rho < \rho_{o}+a.
  3. Região externa ao toro: \rho > \rho_{o}+a.
Para cada \rho escolhemos o círculo amperiano de raio \rho e calculamos I_{\text{enc}}, a corrente que atravessa a superfície do disco limitado por esse círculo.
  • Se o disco não intercepta o enrolamento (ou a corrente superficial), então I_{\text{enc}}=0.
  • Se o disco intercepta todas as espiras (ou toda a corrente envolvida pelo toro), então I_{\text{enc}} é igual à corrente total que atravessa o disco.
Agora aplicamos isso tanto ao caso discreto ( N espiras com corrente I) quanto ao caso contínuo ( \overrightarrow{K}=K_{a}\,\overrightarrow{a}_{\varphi}).

Passo 4

Caso clássico: toróide com [N) espiras, corrente I em cada espira (enrolamento apertado, distribuição uniforme ao longo do toro).
Cada espira é um laço que passa uma vez pelo disco cuja borda é um círculo de raio \rho sempre que o raio \rho do amperiano ficar entre \rho_{o}-a e \rho_{o}+a. Para a geometria típica de toróide apertado (seção pequena comparada a \rho_{o}) e enrolamento que ocupa todo o anel, concluímos:
  • Para 0\le \rho < \rho_{o}-a: o disco não corta as espiras \Rightarrow I_{\text{enc}}=0.
  • Para \rho_{o}-a < \rho < \rho_{o}+a: o disco corta todas as N espiras (cada espira contribui com corrente I atravessando o disco) \Rightarrow I_{\text{enc}}=N I.
  • Para \rho > \rho_{o}+a: a superfície do disco pode ser deformada para não atravessar nenhuma espira (o total líquido atravessando o disco é zero) \Rightarrow I_{\text{enc}}=0.
Inserindo na Lei de Ampère:
B_{\varphi}(\rho)\,(2\pi \rho)=\mu_{0}\,I_{\text{enc}}.
Assim, para o caso discreto:
B_{\varphi}(\rho)= \begin{cases} 0, & 0\le \rho < \rho_{o}-a,\\[6pt] \dfrac{\mu_{0}\,N I}{2\pi \rho}, & \rho_{o}-a< \rho < \rho_{o}+a,\\[8pt] 0, & \rho > \rho_{o}+a. \end{cases}
O vetor campo magnético é azimutal:
\overrightarrow{B}(\rho)=B_{\varphi}(\rho)\,\overrightarrow{a}_{\varphi}.
Comentário físico curto: o campo fica confinado ao “buraco” interno do toro: no núcleo (região ocupada pelas espiras) aparece o campo cuja intensidade decai como (1/\rho]. Fora do toro o campo se anula (cancelamento por simetria das espiras).]

Passo 5

Caso contínuo: distribuição superficial de corrente \overrightarrow{K}=K_{a}\,\overrightarrow{a}_{\varphi} uniformemente ao longo do toro (interpretação física consistente).
Interpretação e justificativa: um enrolamento com muitas espiras muito próximas pode ser visto, no limite, como uma corrente superficial contínua ao longo da direção azimutal. Essa corrente superficial tem dimensão de corrente por unidade comprimento (A/m) no sentido azimutal. A corrente total efetiva “enclausurada” pelo circuito amperiano é a integral da densidade superficial sobre a linha onde o disco corta a folha de corrente; para a distribuição uniforme ao redor do anel essa integral se reduz a K_{a} multiplicado pelo comprimento de circuito relevante (no caso um contorno fechado de comprimento 2\pi \rho_{o} quando a folha está uniformemente distribuída em \rho\approx\rho_{o}).
Assim a corrente total equivalente (análogo a N I) é
I_{\text{total}}=\underbrace{K_{a}}_{\text{A/m}}\times \underbrace{(2\pi \rho_{o})}_{\text{m}} = 2\pi \rho_{o}\,K_{a}.
Esse é o valor da corrente que o disco amperiano “vê” quando o raio \rho está dentro da região do toro. Portanto os I_{\text{enc}} para as regiões são:
  • 0\le \rho < \rho_{o}-a:\\ I_{\text{enc}}=0.
  • \rho_{o}-a<\rho<\rho_{o}+a:\\ I_{\text{enc}}=2\pi \rho_{o}\,K_{a}.
  • \rho>\rho_{o}+a:\\ I_{\text{enc}}=0.
Aplicando Ampère:
B_{\varphi}(\rho)\,(2\pi \rho) = \mu_{0}\,(2\pi \rho_{o}\,K_{a}),
portanto, simplificando,
B_{\varphi}(\rho)=\mu_{0}\,K_{a}\,\frac{\rho_{o}}{\rho}\qquad\text{para }\rho_{o}-a<\rho<\rho_{o}+a,
e B_{\varphi}(\rho)=0 nas regiões fora do toro. Em forma vetorial:
\overrightarrow{B}(\rho)= \begin{cases} \overrightarrow{0}, & 0\le \rho < \rho_{o}-a,\\[4pt] \mu_{0}\,K_{a}\,\dfrac{\rho_{o}}{\rho}\,\overrightarrow{a}_{\varphi}, & \rho_{o}-a<\rho<\rho_{o}+a,\\[8pt] \overrightarrow{0}, & \rho > \rho_{o}+a. \end{cases}]

Passo 6

Conexão entre os dois casos (verificação e fórmula de correspondência).
Comparando as expressões para B_{\varphi} nos dois modelos, vemos que basta identificar
\mu_{0}\,K_{a}\,\frac{\rho_{o}}{\rho}\quad\longleftrightarrow\quad \frac{\mu_{0}\,N I}{2\pi \rho}.
Isto implica a relação de equivalência entre K_{a} (corrente superficial uniforme azimutal) e o produto N I:
2\pi \rho_{o}\,K_{a} = N I.
Ou seja, a corrente total que atravessa o disco (equivalente a N I) é o produto da densidade superficial K_{a} pelo comprimento 2\pi\rho_{o}. Substituindo na expressão contínua recupera-se exatamente a fórmula discreta.

Passo 7

Observações práticas e limites importantes (coaching para a prova).
  • No caso do toróide “fino” (quando a\ll\rho_{o}) costuma-se aproximar \rho\approx \rho_{o} dentro do núcleo; então muitas vezes escreve-se a forma aproximada:
B_{\varphi}\approx \frac{\mu_{0}\,N I}{2\pi \rho_{o}}\quad(\text{constante no núcleo, se }a\ll\rho_{o}).ú
  • Lembre que a direção do campo é sempre azimutal \overrightarrow{a}_{\varphi} (circula ao redor do eixo z dentro do toro).
  • Fora do toro (tanto no buraco central quanto no exterior), o campo é zero no ideal (enrolamento fechado, simetria perfeita), o que é uma propriedade útil para muitos problemas práticos (confinamento do campo magnético).

Resposta

\overrightarrow{B}(\rho)=\begin{cases} \overrightarrow{0}, & 0\le \rho < \rho_{o}-a,\\[6pt] \dfrac{\mu_{0}\,N I}{2\pi \rho}\,\overrightarrow{a}_{\varphi}, & \rho_{o}-a<\rho<\rho_{o}+a,\\[10pt] \overrightarrow{0}, & \rho > \rho_{o}+a, \end{cases}
\overrightarrow{B}(\rho)=\begin{cases} \overrightarrow{0}, & 0\le \rho < \rho_{o}-a,\\[6pt] \mu_{0}\,K_{a}\,\dfrac{\rho_{o}}{\rho}\,\overrightarrow{a}_{\varphi}, & \rho_{o}-a<\rho<\rho_{o}+a,\\[10pt] \overrightarrow{0}, & \rho > \rho_{o}+a, \end{cases}
Relação entre os modelos contínuo e discreto: 2\pi \rho_{o}\,K_{a}=N I.]

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