Uma pilha de
películas polarizadoras ideais é montada com cada película girada de um ângulo
rad em relação à película anterior. Uma onda de luz plana, linearmente polarizada, de intensidade
, incide sobre a pilha. A luz incidente é polarizada ao longo do eixo de transmissão da primeira película e é, portanto, perpendicular ao eixo de transmissão da última película da pilha. Mostre que a intensidade transmitida através da pilha é dada por
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo que aparece entre parênteses é retirado diretamente do enunciado):
- Há uma pilha de
películas polarizadoras ideais. - Cada película é girada de um ângulo
em relação à película anterior. - Uma onda de luz plana, linearmente polarizada, de intensidade
incide sobre a pilha. - A luz incidente está polarizada ao longo do eixo de transmissão da primeira película e, consequentemente, é perpendicular ao eixo de transmissão da última película.
- O que se quer mostrar: a intensidade transmitida através da pilha é
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: a Lei de Malus. Vou explicar direitinho de onde ela vem, sem pular etapas.
- Imagine uma onda eletromagnética linearmente polarizada com amplitude do campo elétrico
. A intensidade da luz é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico: isto é, . Para conveniência escrevemos . - Quando essa luz atinge uma película polarizadora ideal cujo eixo de transmissão forma um ângulo
com a direção de polarização da luz incidente, a película só deixa passar a componente do campo elétrico paralela ao seu eixo. Essa componente tem amplitude
porque é a projeção do vetor
sobre o eixo da película.
- Como a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude, a intensidade transmitida
é
- Essa relação é exatamente a Lei de Malus. Aqui:
é a intensidade antes da película, é a intensidade após a película, e é o ângulo entre a polarização incidente e o eixo da película.
Passo 3
Aplicando a Lei de Malus ao primeiro trecho da pilha:
- A luz incidente está polarizada ao longo do eixo da primeira película, então o ângulo entre a polarização incidente e o eixo da primeira película é
. - Usando Malus:
- Conclusão: a primeira película (por estar alinhada) não reduz a intensidade inicial — a intensidade logo após a primeira película permanece
.
Passo 4
Agora vamos considerar a passagem pela segunda película (e por todas as seguintes). Defina o ângulo entre eixos consecutivos como
Entre a primeira e a segunda película há esse ângulo
. Aplicando Malus para a segunda película, a intensidade após a segunda película é
Como vimos que
, temos
Passo 5
Repare que a mesma redução por fator
ocorrerá em cada passagem entre películas consecutivas, pois cada par consecutivo tem o mesmo ângulo relativo
. Ou seja, ao atravessar a terceira película multiplicamos outra vez por
, e assim por diante.
Se chamarmos
a intensidade logo após a
-ésima película (com
sendo a primeira), então a relação de recorrência é
Resolvendo a recorrência com
obtemos, por indução,
Passo 6
Queremos a intensidade transmitida após a última película. Como há
películas, o último índice é
. Substituindo
na expressão anterior:
Agora substituímos
:
Isso é exatamente a expressão pedida.
Passo 7
Para fixar a ideia, um exemplo rápido:
- Se
então há películas com ângulo entre elas; a fórmula dá
que é o caso conhecido: duas polarizadoras cruzadas bloqueiam toda a luz.
- Se
(três películas com ângulo entre consecutivas), então