Uma pilha de N+1 películas polarizadoras ideais é montada com cada película girada de um ângulo \frac{\pi}{2 \cdot N} rad em relação à película anterior. Uma onda de luz plana, linearmente polarizada, de intensidade I_{0}, incide sobre a pilha. A luz incidente é polarizada ao longo do eixo de transmissão da primeira película e é, portanto, perpendicular ao eixo de transmissão da última película da pilha. Mostre que a intensidade transmitida através da pilha é dada por I_{0} \cdot \cos ^{2 N}\left(\frac{\pi}{2 \cdot N}\right).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo que aparece entre parênteses é retirado diretamente do enunciado):
  • Há uma pilha de N+1 películas polarizadoras ideais.
  • Cada película é girada de um ângulo \dfrac{\pi}{2\cdot N} em relação à película anterior.
  • Uma onda de luz plana, linearmente polarizada, de intensidade I_{0} incide sobre a pilha.
  • A luz incidente está polarizada ao longo do eixo de transmissão da primeira película e, consequentemente, é perpendicular ao eixo de transmissão da última película.
  • O que se quer mostrar: a intensidade transmitida através da pilha é
I_{0}\cdot\cos^{2N}\!\left(\frac{\pi}{2\cdot N}\right).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: a Lei de Malus. Vou explicar direitinho de onde ela vem, sem pular etapas.
  • Imagine uma onda eletromagnética linearmente polarizada com amplitude do campo elétrico E_{\text{inc}}. A intensidade I da luz é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico: isto é, I\propto E^{2}. Para conveniência escrevemos I\propto |E|^{2}.
  • Quando essa luz atinge uma película polarizadora ideal cujo eixo de transmissão forma um ângulo \theta com a direção de polarização da luz incidente, a película só deixa passar a componente do campo elétrico paralela ao seu eixo. Essa componente tem amplitude
E_{\text{trans}} = E_{\text{inc}}\cos\theta,
porque é a projeção do vetor E_{\text{inc}} sobre o eixo da película.
  • Como a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude, a intensidade transmitida I_{\text{trans}} é
I_{\text{trans}} = I_{\text{inc}}\cos^{2}\theta.
  • Essa relação é exatamente a Lei de Malus. Aqui: I_{\text{inc}} é a intensidade antes da película, I_{\text{trans}} é a intensidade após a película, e \theta é o ângulo entre a polarização incidente e o eixo da película.

Passo 3

Aplicando a Lei de Malus ao primeiro trecho da pilha:
  • A luz incidente está polarizada ao longo do eixo da primeira película, então o ângulo entre a polarização incidente e o eixo da primeira película é 0.
  • Usando Malus:
I_{1} = I_{0}\cos^{2}0 = I_{0}\cdot 1 = I_{0}.
  • Conclusão: a primeira película (por estar alinhada) não reduz a intensidade inicial — a intensidade logo após a primeira película permanece I_{0}.

Passo 4

Agora vamos considerar a passagem pela segunda película (e por todas as seguintes). Defina o ângulo entre eixos consecutivos como
\Delta\theta = \frac{\pi}{2\cdot N}.
Entre a primeira e a segunda película há esse ângulo \Delta\theta. Aplicando Malus para a segunda película, a intensidade após a segunda película é
I_{2} = I_{1}\cos^{2}\!\big(\Delta\theta\big).
Como vimos que I_{1}=I_{0}, temos
I_{2} = I_{0}\cos^{2}\!\big(\Delta\theta\big).

Passo 5

Repare que a mesma redução por fator \cos^{2}\!\big(\Delta\theta\big) ocorrerá em cada passagem entre películas consecutivas, pois cada par consecutivo tem o mesmo ângulo relativo \Delta\theta. Ou seja, ao atravessar a terceira película multiplicamos outra vez por \cos^{2}\!\big(\Delta\theta\big), e assim por diante.
Se chamarmos I_{m} a intensidade logo após a m-ésima película (com m=1 sendo a primeira), então a relação de recorrência é
I_{m+1} = I_{m}\cos^{2}\!\big(\Delta\theta\big).
Resolvendo a recorrência com I_{1}=I_{0} obtemos, por indução,
I_{m} = I_{0}\cos^{2(m-1)}\!\big(\Delta\theta\big).

Passo 6

Queremos a intensidade transmitida após a última película. Como há N+1 películas, o último índice é m=N+1. Substituindo m=N+1 na expressão anterior:
I_{N+1} = I_{0}\cos^{2\big((N+1)-1\big)}\!\big(\Delta\theta\big) = I_{0}\cos^{2N}\!\big(\Delta\theta\big).
Agora substituímos \Delta\theta=\dfrac{\pi}{2\cdot N}:
I_{N+1} = I_{0}\cdot\cos^{2N}\!\left(\frac{\pi}{2\cdot N}\right).
Isso é exatamente a expressão pedida.

Passo 7

Para fixar a ideia, um exemplo rápido:
  • Se N=1 então há 2 películas com ângulo \pi/2 entre elas; a fórmula dá
I = I_{0}\cos^{2}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=I_{0}\cdot 0 = 0,
que é o caso conhecido: duas polarizadoras cruzadas bloqueiam toda a luz.
  • Se N=2 (três películas com ângulo \pi/4 entre consecutivas), então
I = I_{0}\cos^{4}\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = I_{0}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{4} = I_{0}\cdot\frac{1}{4}.

Resposta

I_{0}\cdot\cos^{2N}\!\left(\frac{\pi}{2\cdot N}\right)

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