A partir do modelo matemático de Rutherford e dos experimentos realizados por ele, como podemos acreditar que os átomos têm um núcleo cujo volume é cerca de 10^{15} vezes menor que o volume do próprio átomo, e que os elétrons ficam localizados fora dele?

Passo 1

O enunciado pede que, a partir do modelo de Rutherford e de seus experimentos de espalhamento de partículas alfa, a gente veja por que o átomo tem um núcleo de volume cerca de 10^{15} vezes menor que o volume atômico e por que os elétrons ficam fora desse núcleo. Para isso vamos usar os conceitos de espalhamento coulômbico, conservação de energia e escalas típicas de raios atômico e nuclear.

Passo 2

No experimento clássico de Rutherford, um feixe de partículas alfa (carga +2e e energia cinética típica de algumas centenas de keV) incide numa finíssima lâmina de ouro. Observa-se:
  1. A maior parte das partículas alfa atravessa a lâmina sem desvio apreciável.
  2. Uma pequena fração é desviada em ângulos grandes, algumas até “quase” de volta.
    Pelo modelo de espalhamento coulômbico, esse comportamento só se explica se toda a carga positiva e quase toda a massa do átomo estiverem concentradas num volume muito pequeno (o núcleo), de modo que a maior parte das alfa passe longe (quase sem ver carga) e poucas cheguem a se aproximar tanto que sofram grandes desvios.

Passo 3

Para estimar a ordem de grandeza do raio nuclear, usamos conservação de energia na aproximação mais extrema: a partícula alfa, com energia cinética inicial E_{\text{cin}}, ao chegar na distância de “mais perto” r_{\min} do centro nuclear, tem energia potencial eletrostática igual à sua energia cinética:
E_{\text{cin}} \approx U_{\text{el}}(r_{\min}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(2e)(Ze)}{r_{\min}},
onde Z é o número atômico do alvo (para ouro, Z=79). Rearranjando,
r_{\min}\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2Ze^2}{E_{\text{cin}}}.
Usando E_{\text{cin}}\sim 10^5\;\text{eV} e \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}e^2\approx 1{,}44\times10^{-9}\,\text{eV\cdotm}, obtemos r_{\min} da ordem de 10^{-14} a 10^{-15}\,\text{m}.

Passo 4

O raio atômico típico, medido por difração eletrônica e outras técnicas, é da ordem de 10^{-10}\,\text{m}. Se o núcleo tem r_{\text{núcleo}}\sim10^{-15}\,\text{m}ú e o átomo r_{\text{átomo}}\sim10^{-10}\,\text{m}á, então o volume relativo é
\frac{V_{\text{núcleo}}}{V_{\text{átomo}}} =\left(\frac{r_{\text{núcleo}}}{r_{\text{átomo}}}\right)^{3} \sim\bigl(10^{-5}\bigr)^{3} =10^{-15}.úáúá

Passo 5

Como a maior parte das partículas alfa passa sem desvio, concluímos que fora do pequeno núcleo há quase “vazio” de carga positiva concentrada – e é aí que os elétrons residem. Se os elétrons estivessem dentro do mesmo espaço do núcleo, o padrão de espalhamento seria muito diferente (muito mais desvios pequenos e quase nenhum grande). Assim, Rutherford concluiu que o átomo é composto por um núcleo minúsculo e carregado positivamente, rodeado por elétrons em regiões externas.

Resposta

O espalhamento de partículas alfa mostrou que quase não há carga positiva “à vista” exceto num ponto muito pequeno (o núcleo), cuja distância de aproximação calculada por conservação de energia é da ordem de 10^{-15}\,\text{m}. Comparado ao raio atômico de 10^{-10}\,\text{m}, isso dá um volume cerca de 10^{-15} vezes menor, e os elétrons devem então ocupar regiões externas para reproduzir o padrão experimental de desvios.

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