A partir do momento em que cristais perfeitos são submetidos a temperaturas superiores ao zero absoluto, defeitos começam a aparecer na estrutura. O número de vacâncias no cobre aquecido 1000^{\circ} \mathrm{C} é de 2,2 \times 10^{25} vacâncias / \mathrm{m}^{3}. Sabendo-se que a energia para formação de uma vacância é de 0,8 \mathrm{eV} / átomo e a massa atômica do cobre é de 63,5 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, qual a sua densidade a 1000^{\circ} \mathrm{C} ? ( \mathrm{k}=8,62 \times 10^{-5} \mathrm{eV} / \mathrm{K} ; \mathrm{N}_{\mathrm{a}}= 6,02 \times 10^{23} átomos / \mathrm{mol} ) ( 0,5 )

Passo 1

O enunciado trata de defeitos (vacâncias) em cristais metálicos e pede a densidade do cobre a 1000^\circ\mathrm{C} sabendo o número de vacâncias por volume. Dados:
- Número de vacâncias por volume:
n_v = 2{,}2\times 10^{25}\;\text{vacâncias/m}^3â
- Energia de formação de vacância:
E_v = 0{,}8\;\mathrm{eV/átomo}á
- Massa atômica do cobre:
M = 63{,}5\;\mathrm{g/mol} = 0{,}0635\;\mathrm{kg/mol}
- Constante de Boltzmann (em unidades eV/K):
k = 8{,}62\times 10^{-5}\;\mathrm{eV/K}
- Número de Avogadro:
N_A = 6{,}02\times 10^{23}\;\text{átomos/mol}á
- Temperatura absoluta:
T = 1000^\circ\mathrm{C} = 1000 + 273 =1273\;\mathrm{K}
Para achar a densidade precisamos (1) determinar o número total de sítios atômicos por metro cúbico e (2) converter esse número de átomos em massa.

Passo 2

Em equilíbrio térmico, a concentração de vacâncias satisfaz a lei de Arrhenius:
n_v \;=\; N_{\text{sites}}\;\exp\!\bigl(-E_v/(k\,T)\bigr)
onde N_{\text{sites}} é o número de sítios atômicos (átomos + vacâncias) por metro cúbico. Vamos isolar N_{\text{sites}}:
N_{\text{sites}} =\frac{n_v}{\exp(-E_v/(k\,T))} = n_v\;\exp\!\bigl(E_v/(k\,T)\bigr).

Passo 3

Calcular k\,T e o fator exponencial:
k\,T = 8{,}62\times 10^{-5}\times 1273 \approx 0{,}1097\;\mathrm{eV},
\frac{E_v}{k\,T} = \frac{0{,}8}{0{,}1097}\approx 7{,}29,
\exp\!\bigl(E_v/(k\,T)\bigr)=\exp(7{,}29)\approx 1{,}46\times 10^{3}.

Passo 4

Calcular N_{\text{sites}} e o número de átomos reais N_{\text{átomos}}=N_{\text{sites}}-n_vá. Como n_v\ll N_{\text{sites}}, podemos usar
N_{\text{sites}} =2{,}2\times10^{25}\;\exp(7{,}29) \approx 2{,}2\times10^{25}\times1{,}46\times10^{3} \approx 3{,}22\times10^{28}\;\text{sitios/m}^3,
N_{\text{átomos}} = N_{\text{sites}} - n_v \approx 3{,}22\times10^{28} - 2{,}2\times10^{25} \approx 3{,}22\times10^{28}\;\text{átomos/m}^3.áá

Passo 5

Converter número de átomos em massa por volume para obter a densidade \rho:
\rho = \frac{N_{\text{átomos}}}{N_A}\;M = \biggl(\frac{3{,}22\times10^{28}}{6{,}02\times10^{23}}\biggr)\times 0{,}0635\;\mathrm{kg/m}^3 \approx 3{,}4\times10^{3}\;\mathrm{kg/m}^3.á

Resposta

A densidade do cobre a 1000^\circ\mathrm{C} é aproximadamente
\rho \approx 3{,}4\times10^{3}\;\mathrm{kg/m}^3.

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