A equação de Arrehenius define a velocidade de difusão de átomos ou íons em função da temperatura: V=c_{0} \exp (-Q / R T) onde V é a velocidade, c_{0} é uma constante, Q é a energia de ativação, R é a constante dos gases e T a temperatura.
Suponha que átomos intersticiais se movem de um sitio para outro na velocidade de 5 \times 10^{8} saltos / \mathrm{s} a 500^{\circ} \mathrm{C} e de 8 \times 10^{10} saltos / \mathrm{s} a 800^{\circ} \mathrm{C}. Via Arrhenius, calcule a energia de ativação necessária para a movimentação Q. Considere R=1,987 \mathrm{cal} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}(0,5)

Passo 1

O enunciado dá a lei de Arrhenius para a velocidade de salto
V = c_{0}\exp\bigl(-Q/(R\,T)\bigr),
e fornece dois pontos: \;V_{1}=5\times10^{8}\,\text{s}^{-1} a T_{1}=500^\circ\mathrm C e \;V_{2}=8\times10^{10}\,\text{s}^{-1} a T_{2}=800^\circ\mathrm C.
Queremos achar a energia de ativação Q. Vamos usar a forma linearizada da lei.

Passo 2

Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln V = \ln c_{0} \;-\;\frac{Q}{R\,T}.
Chamando a equação nos pontos 1 e 2:
\ln V_{1} = \ln c_{0} \;-\;\frac{Q}{R\,T_{1}}, \qquad \ln V_{2} = \ln c_{0} \;-\;\frac{Q}{R\,T_{2}}.

Passo 3

Subtraindo as duas equações para eliminar \ln c_{0}, vem
\ln\!\bigl(V_{2}/V_{1}\bigr) = -\frac{Q}{R}\Bigl(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\Bigr).
Reordenando para Q,
Q = R\;\frac{\ln(V_{2}/V_{1})}{(1/T_{1}) - (1/T_{2})}.

Passo 4

Convertemos temperaturas Celsius em Kelvin:
T_{1} = 500 + 273 = 773\;\mathrm K, \quad T_{2} = 800 + 273 = 1073\;\mathrm K.

Passo 5

Calculamos a razão de velocidades e a diferença de recíprocos:
\ln\!\bigl(V_{2}/V_{1}\bigr) = \ln\!\bigl(8\times10^{10}/5\times10^{8}\bigr) = \ln(160)\approx5{,}076,
\frac1{T_{1}}-\frac1{T_{2}} = \frac{1}{773}-\frac{1}{1073} \approx3{,}617\times10^{-4}\;\mathrm K^{-1}.

Passo 6

Substituindo em
Q = 1{,}987\;\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm K} \;\times\;\frac{5{,}076}{3{,}617\times10^{-4}} \approx2{,}78\times10^{4}\;\mathrm{cal/mol}.

Resposta

A energia de ativação vale aproximadamente
Q \approx 2{,}8\times10^{4}\;\mathrm{cal/mol}\quad(\approx28\;\mathrm{kcal/mol}).

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