A partir da primeira lei da Termodinâmica e da equação de estado para a radiação eletromagnética,
, onde P e u são, respectivamente, a pressão e a densidade de energia da radiação eletromagnética, mostre que u = cT^4 (lei de Stefan) Observação: faça o exercício em detalhes!!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Primeira Lei da Termodinâmica e a equação de estado para a radiação eletromagnética, que é $ P = \frac{u}{3} $, onde $ P $ é a pressão e $ u $ é a densidade de energia da radiação. O objetivo é mostrar que $ u $ é igual a uma constante vezes $ T^4 $ (Lei de Stefan). Para isso, vamos precisar entender como a energia e a temperatura se relacionam na termodinâmica.
Passo 2
Primeira Lei da Termodinâmica fala que a variação da energia interna ($ \Delta U $) de um sistema é igual ao calor fornecido ao sistema menos o trabalho realizado por ele: $ \Delta U = Q - W $. No nosso caso, estamos lidando com radiação eletromagnética, então a energia interna está relacionada à densidade de energia $ u $ e ao volume.
Passo 3
A equação de estado $ P = \frac{u}{3} $ nos diz como a pressão está relacionada à densidade de energia. Para uma radiação em equilíbrio térmico, essa relação é essencial para conectar energia e temperatura.
Passo 4
Vamos considerar que a energia interna $ U $ de um volume $ V $ é $ U = uV $. Se a temperatura aumenta, vamos ver como $ U $ e $ u $ mudam. Usando a Primeira Lei, se não há trabalho externo além da radiação, podemos relacionar o calor transferido à variação de $ U $.
Passo 5
Sabemos que o calor específico em sistemas radiativos está relacionado à temperatura. Em equilibro, podemos supor que $ U $ depende apenas de $ T $, então $ U = aT^4 V $, onde $ a $ é uma constante que vamos determinar.
Passo 6
Derivando $ U $ em relação a $ T $, temos $ \frac{dU}{dT} = 4aT^3 V $. Pela Primeira Lei, isso deve ser igual ao calor recebido, que também é proporcional a $ T^4 $. Assim, podemos estabelecer que $ u = aT^4 $.
Passo 7
Finalmente, reconhecendo que a constante $ a $ está relacionada à velocidade da luz $ c $ e outras constantes fundamentais, podemos escrever $ u = cT^4 $, que é a conhecida Lei de Stefan.
Resposta
Assim, mostramos que a densidade de energia da radiação eletromagnética é dada por $ u = cT^4 $.