A partir dos seguintes potenciais eletrostático em certa região do espaço, determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região.
V(\rho)=-K \ln \rho, onde K é positivo e \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial eletrostático
V(\rho)=-K\ln\rho,
onde K>0 e \rho=\sqrt{x^2+y^2}.
O conteúdo é cálculo de campo elétrico a partir de potencial, usando
\mathbf{E}=-\nabla V.
Como V depende só de \rho, vamos usar o gradiente em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, se V=V(\rho) não depende de \varphi nem de z, vale
\nabla V = \frac{dV}{d\rho}\,\hat e_{\rho}.
Calculamos
\frac{dV}{d\rho} =\frac{d}{d\rho}\bigl(-K\ln\rho\bigr) =-\frac{K}{\rho},
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\nabla V = -\frac{K}{\rho}\,\hat e_{\rho}.

Passo 3

Aplicando \mathbf{E}=-\nabla V, obtemos
\mathbf{E}(\rho) =-\Bigl(-\frac{K}{\rho}\hat e_{\rho}\Bigr) =\frac{K}{\rho}\,\hat e_{\rho}.
Em coordenadas cartesianas, como \hat e_{\rho}=(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j})/\rho, segue
\mathbf{E}(x,y) =\frac{K}{\rho}\,\frac{x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}}{\rho} =\frac{K\,(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j})}{\rho^{2}} =\frac{K\,(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j})}{x^{2}+y^{2}}.

Resposta

\mathbf{E}(\rho)=\frac{K}{\rho}\,\hat e_{\rho} \quad\text{ou}\quad \mathbf{E}(x,y)=\frac{K\,(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j})}{x^{2}+y^{2}}.

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