A partir da sequência discreta abaixo faça o que se pede:
x[n]=(12)^n u[n]
O sistema é estável? Justifique.

Passo 1

Beleza, a questão dá uma sequência discreta
x[n] = l(tfrac12r)^n u[n]
e pede pra gente dizer se “o sistema é estável” e justificar.
Isso é um problema de estabilidade BIBO de sistemas LTI em tempo discreto.
Pra resolver, a gente vai usar:
  1. A definição de estabilidade BIBO (soma dos valores absolutos da resposta ao impulso deve ser finita).
  2. A soma de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, o que é estabilidade BIBO em sistemas LTI discretos?
Um sistema LTI é BIBO estável se, para toda entrada limitada, a saída for limitada.
Isso equivale a dizer que a soma da resposta ao impulso h[n] em valor absoluto é finita:
sumn=-infty^infty l|h[n]r| < infty
Aqui, parece que x[n] é a nossa resposta ao impulso h[n] (não foi dito explicitamente, mas é o comum nesse tipo de exercício).

Passo 3

Então, vamos calcular
sumn=-infty^infty l|h[n]r| Longrightarrow sumn=-infty^infty l|x[n]r|
Como x[n] = (1/2)^n,u[n], isso vale zero para n<0 (pelo u[n]) e para n>=0 é (1/2)^n.
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sumn=-infty^infty l|x[n]r| = sumn=0^infty l|l(tfrac12r)^nr| = sumn=0^infty l(tfrac12r)^n

Passo 4

A série
sumn=0^infty r^n
é uma série geométrica, que converge para
11-r,
quando |r|<1. Aqui r=tfrac12, então
sumn=0^infty l(tfrac12r)^n = 11 - tfrac12 = 1tfrac12 = 2

Passo 5

A soma deu 2, que é um número finito. Isso significa que
sumn=-infty^infty l|h[n]r| < infty
Portanto, o sistema é BIBO estável.

Resposta

O sistema é estável, pois a soma da resposta ao impulso em módulo é
.

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