Passe para coordenadas polares e calcule
integral duplaR x y d x d y
onde R é o círculo x^2+y^2-2 y <= 0, x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaR x,y,dx,dy
onde R é a região dada por
x^2+y^2-2y<=0, x>=0,
usando coordenadas polares. Vamos lembrar que em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta e dx,dy = r,dr,dtheta.

Passo 2

Reescrevendo a desigualdade x^2+y^2-2y<=0 em polares:
r^2-2rsintheta<=0 Longrightarrow r<=2sintheta
Além disso x>=0 implica costheta>=0, logo thetain[-tfracpi2,tfracpi2]. Para que r<=2sintheta tenha r>=0 não podemos ter sintheta<0, então combinando fica
thetain[0,tfracpi2], rin[0,,2sintheta]

Passo 3

No integrando substituímos
x,y = (rcostheta)(rsintheta)=r^2costhetasintheta
e o elemento de área é r,dr,dtheta. Assim
x,y,dx,dy = r^2costhetasintheta;l(r,dr,dthetar) = r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 4

O integral fica
integral duplaRx,y,dx,dy =integraltheta=0^pi/2!integralr=0^2sintheta r^3costhetasintheta,dr,dtheta
Primeiro fazemos a integral em r:
integral0^2sinthetar^3,dr =[r^44]0^2sintheta =(2sintheta)^44 =16sin^4theta4 =4sin^4theta

Passo 5

Sobram a integral em theta:
integral0^pi/24sin^4theta,costhetasintheta,dtheta =4integral0^pi/2sin^5thetacostheta,dtheta
Fazendo u=sintheta, du=costheta,dtheta, com u(0)=0, u(pi/2)=1, obtemos
4integral0^1u^5,du =4[u^66]0^1 =4cdot16 =23

Resposta

O valor do integral é tfrac23.

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