Determine o valor aproximado da área da superfície do rio no intervalo usando a regra de Simpson com a seguinte tabela:
0 10 20 30 40
50,8 86,2 136 72,8 51
113,6 114,5 135 171,2 25,3
a) (1,0 pta) subintervalos,
b) (1,0 pts) subintervalos.
c) pt Utilize agora a extrapolacâo de Richardson para aprimorar o cálculo da área da superfície deste rio.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a área da superfície do rio, isto é, calcular
integral0^40 M2(x),dx
usando a regra de Simpson 1/3 composta. Temos os valores de M2(xi) em xi=0,10,20,30,40. Para N subintervalos pares de largura h=tfrac40-0N, a fórmula composta é
integral0^40M2(x),dxapprox h3l[f0+4f1+2f2+4f3+cdots+fNr],
onde fi=M2(xi), com coeficiente 4 nos índices ímpares e 2 nos pares (exceto nas extremidades).

Passo 2

Para N1=2 subintervalos, temos
h1=40-02=20
A regra de Simpson composta dá
A1=h13l[M2(0)+4M2(20)+M2(40)r] =203l(50,8+4cdot136+51r)
Calculando o interior:
50,8+4cdot136+51=50,8+544+51=645,8,
então
A1=203times645,8=129163approx4305,33

Passo 3

Para N2=4 subintervalos, temos
h2=40-04=10
A regra composta dá
A2=h23l[M2(0)+4M2(10)+2M2(20)+4M2(30)+M2(40)r]
=103l(50,8+4cdot86,2+2cdot136+4cdot72,8+51r)
Somando:
50,8+344,8+272+291,2+51=1009,8,
logo
A2=103times1009,8=100983=3366

Passo 4

A extrapolação de Richardson para Simpson (erro O(h^4)) é
AR=16,A2-A116-1
Substituindo A1approx4305,33 e A2=3366,
AR=16cdot3366-4305,3315 =53856-4305,3315 =49550,6715approx3303,38

Resposta

a) A1approx4305,33
b) A2=3366
c) ARapprox3303,38

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