PD3.1 Deduza uma forma de volume de controle para a segunda lei da termodinâmica. Sugira algumas aplicações práticas de sua relação na análise de escoamentos de fluidos reais.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) deduzir uma forma de volume de controle (CV) para a segunda lei da termodinâmica (ou seja, escrever o balanço de entropia adequado a um CV e obter também uma forma local, se possível) e (2) sugerir aplicações práticas dessa relação na análise de escoamentos de fluidos reais.
Informações implícitas e relevantes fornecidas pelo enunciado: fluxo de fluido real (escoamento aberto, portanto é apropriado usar volume de controle), devemos trazer a segunda lei em forma apropriada para CV, e relacionar com irreversibilidades (entropia gerada). Não há dados numéricos — é uma dedução teórica e aplicação prática.
Informações implícitas e relevantes fornecidas pelo enunciado: fluxo de fluido real (escoamento aberto, portanto é apropriado usar volume de controle), devemos trazer a segunda lei em forma apropriada para CV, e relacionar com irreversibilidades (entropia gerada). Não há dados numéricos — é uma dedução teórica e aplicação prática.
Passo 2
Primeiro, o conceito básico que precisamos: entropia e a segunda lei para um sistema fechado. A definição termodinâmica fundamental (para um processo reversível) é a relação diferencial
onde
é calor reversível recebido pelo sistema,
é a temperatura absoluta e
é a entropia do sistema. A segunda lei, incluindo irreversibilidades, para um sistema que pode receber calor em vários contatos à temperaturas
, é
onde
é a taxa de calor recebida pelo sistema a partir do contato térmico em temperatura
e
é a taxa de geração de entropia (irreversibilidades internas). Esta é a forma sistema (seguindo as partículas).
Passo 3
Agora precisamos transferir essa ideia do “sistema” (seguindo massa) para um “volume de controle” fixo (região espacial), que é o que usamos em escoamentos. Para isso usamos o teorema de Reynolds (ou teorema do transporte de Reynolds), que relaciona a derivada temporal de uma integral sobre massa com integrais sobre o volume de controle e sua superfície. O teorema, aplicado a uma propriedade específica por unidade de massa
(aqui
, entropia por unidade de massa), dá:
onde
é densidade,
velocidade,
é o vetor normal exterior da superfície de controle (CS), e
é a propriedade extensa (aqui
). Substituímos
(entropia por massa) e
.
Passo 4
Aplicando o teorema de Reynolds à entropia do sistema e usando a forma sistema da segunda lei (Passo 2) obtemos a forma integral de balanço de entropia para o CV. Escrevendo explicitamente:
Explicação das parcelas:
-
é a taxa de variação temporal de entropia armazenada no CV; -
é o fluxo convectivo de entropia através da superfície (saída positiva se houver fluxo para fora do CV); -
é a soma das transferências de entropia por calor através de contatos discretos à temperatura ; -
é a taxa total de geração de entropia dentro do CV (sempre ).
Passo 5
Interpretação prática e formas úteis para prova: muitas vezes há calor distribuído ao longo da superfície (não apenas contatos discretos). Nesse caso representamos a transferência de entropia por calor por uma integral usando o vetor fluxo de calor
(W/m², positivo no sentido do vetor). A contribuição de calor para o balanço em forma diferencial aparece como
no volume. Assim, aplicando o teorema da divergência à integral superficial e colocando a integral de calor em forma volumétrica obtemos a forma local (diferencial) do balanço de entropia:
onde
é a densidade volumétrica de geração de entropia (unidades:
ou
se expressa por massa), e satisfaz
ponto a ponto. Esta é a forma local (conservação/geração de entropia).
Passo 6
Agora vamos aprofundar o que está dentro de
(esse é o conteúdo físico da segunda lei para fluidos reais). Para um fluido contínuo, irreversibilidades típicas são: condução de calor (gradiente de temperatura), dissipação viscosa (atrito interno) e transporte difusivo de espécies químicas. A expressão termodinâmica clássica para
é
onde:
-
é o vetor fluxo de calor (W/m²), -
representa a produção de entropia por condução de calor (para Fourier isso é ), -
é a taxa volumétrica de dissipação viscosa (também chamada de função de dissipação), frequentemente escrita como , com tensor de tensões viscosas; é a contribuição viscosa; -
é o fluxo difusivo de espécie e seu potencial químico; o termo com representa geração por difusão e reações químicas (se presentes).
Essa expressão mostra explicitamente por que: com leis constitutivas físicas (Fourier, leis viscosas de Newton, leis de difusão), cada parcela dá contribuição não-negativa.
Passo 7
Formas úteis para provas e aplicações práticas (resumo operacional):
- Forma integral geral:
- Para regime estacionário (termo temporal zero) e com entradas/saídas discretas de massa:
ou reorganizando para obter a geração de entropia
Isto é muito prático: calcule entropia que sai menos entropia que entra e subtraia a entropia que entrou por calor; o resto é entropia gerada internamente (irreversibilidades).
- Forma local diferencial (útil para análise ponto a ponto e para simulações CFD):
com
Na prova: saber usar a forma integral para CVs com entradas/saídas discretas e a forma local quando trabalhar com equações diferenciais/CFD.
Passo 8
Como usar isso em prática (passo-a-passo operacional em prova ou análise):
- Identifique CV, entradas/saídas de massa e superfícies de calor.
- Se for regime estacionário, use a versão sem o termo temporal; calcule
em cada fluxo (use tabelas termodinâmicas ou relações do gás perfeito para obter ). - Some os termos
(cada transferência de calor precisa do valor de temperatura de contato ). Se calor for distribuído com fluxo , converta para integral superficial ou para forma local. - Calcule
por diferença: irreversibilidades mensuradas. Se quiser detalhar origem da irreversibilidade, passe à forma local e calcule com os termos de condução (gradiente de ), dissipação viscosa e difusão. - Interprete:
significa processo reversível ideal; quantifica perdas reais (ineficiências).
Passo 9
Alguns exemplos simples de aplicação prática (como usar a equação nas situações reais):
- Em trocadores de calor: comparar
com fluxos de massa-entropia para avaliar irreversibilidades e otimizar geometrias para minimizar . - Em turbinas e compressores: para CV ao redor da máquina em regime estacionário, calcular
a partir de fluxos mássicos e calor para quantificar perdas irreversíveis e relacionar com perdas exergéticas (controle de eficiência). - Em escoamentos internos (tubulações) com aquecimento: estimar contribuição de condução (termo
) e de dissipação viscosa para a geração total de entropia; útil para projeto de isolamento e escolha de bombas. - Em choques e escoamentos compressíveis: uso da versão CV para quantificar aumento de entropia através de uma onda de choque (adiabático, logo
, então ). Isso permite avaliar perdas irreversíveis em bocais e difusores supersônicos. - Em mistura e combustão: usar o termo de difusão e variações químicas (termos com
) para quantificar irreversibilidades associadas à mistura e reações, fundamental em projeto de câmaras de combustão e conversores catalíticos. - Em otimização térmica (minimização de entropia): princípio prático de projeto onde minimizar
costuma equivaler a reduzir perdas (ex.: redes de tubulações, trocadores, sistemas HVAC).
Passo 10
Observações finais rápidas para a prova (dicas de mochila):
- Se o enunciado der fluxos massivos discretos e calor a uma temperatura conhecida, use a forma estacionária discreta (Passo 7) — é a mais fácil e muito usada em exames.
- Se apareçam gradientes e leis constitutivas (Fourier, lei de viscosidade de Newton), passe à forma local para demonstrar positividade das parcelas de geração.
- Sempre destaque que
(segunda lei) e relacione entropia gerada com perda de disponibilidade/exergia se pedirem eficiência.
Resposta
Aplicações práticas: avaliação de irreversibilidades em trocadores de calor e minimização de geração de entropia; análise de eficiência e perdas em turbinas/compresssores/nozzles; quantificação de perdas em escoamentos em tubulações (dissipação viscosa + condução); avaliação de choque e processos compressíveis (aumento de entropia através do choque); análise de mistura e combustão (termos difusivos e reações químicas); uso em exergy/diagnóstico de sistemas para otimização de projeto.