PD3.1 Deduza uma forma de volume de controle para a segunda lei da termodinâmica. Sugira algumas aplicações práticas de sua relação na análise de escoamentos de fluidos reais.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) deduzir uma forma de volume de controle (CV) para a segunda lei da termodinâmica (ou seja, escrever o balanço de entropia adequado a um CV e obter também uma forma local, se possível) e (2) sugerir aplicações práticas dessa relação na análise de escoamentos de fluidos reais.
Informações implícitas e relevantes fornecidas pelo enunciado: fluxo de fluido real (escoamento aberto, portanto é apropriado usar volume de controle), devemos trazer a segunda lei em forma apropriada para CV, e relacionar com irreversibilidades (entropia gerada). Não há dados numéricos — é uma dedução teórica e aplicação prática.

Passo 2

Primeiro, o conceito básico que precisamos: entropia e a segunda lei para um sistema fechado. A definição termodinâmica fundamental (para um processo reversível) é a relação diferencial
\delta Q_\text{rev} = T\,dS,
onde \delta Q_\text{rev} é calor reversível recebido pelo sistema, T é a temperatura absoluta e S é a entropia do sistema. A segunda lei, incluindo irreversibilidades, para um sistema que pode receber calor em vários contatos à temperaturas \,T_k, é
\frac{dS_\text{sys}}{dt}=\sum_{k}\frac{\dot{Q}_k}{T_k}+\dot{S}_\text{gen},
onde \dot{Q}_k é a taxa de calor recebida pelo sistema a partir do contato térmico em temperatura \,T_k e \dot{S}_\text{gen}\ge 0 é a taxa de geração de entropia (irreversibilidades internas). Esta é a forma sistema (seguindo as partículas).

Passo 3

Agora precisamos transferir essa ideia do “sistema” (seguindo massa) para um “volume de controle” fixo (região espacial), que é o que usamos em escoamentos. Para isso usamos o teorema de Reynolds (ou teorema do transporte de Reynolds), que relaciona a derivada temporal de uma integral sobre massa com integrais sobre o volume de controle e sua superfície. O teorema, aplicado a uma propriedade específica por unidade de massa b (aqui b=s, entropia por unidade de massa), dá:
\frac{d}{dt}\int_{\text{system}} B\,dm=\frac{d}{dt}\int_{\text{CV}}\rho b\,dV+\int_{\text{CS}}\rho b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA,
onde \rho é densidade, \mathbf{v} velocidade, \mathbf{n} é o vetor normal exterior da superfície de controle (CS), e B é a propriedade extensa (aqui B=S). Substituímos b=s (entropia por massa) e B=S.

Passo 4

Aplicando o teorema de Reynolds à entropia do sistema e usando a forma sistema da segunda lei (Passo 2) obtemos a forma integral de balanço de entropia para o CV. Escrevendo explicitamente:
\frac{d}{dt}\int_{\text{CV}}\rho s\,dV+\int_{\text{CS}}\rho s\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA=\sum_{k}\frac{\dot{Q}_k}{T_k}+\dot{S}_\text{gen}.
Explicação das parcelas:
  • \displaystyle \frac{d}{dt}\int_{\text{CV}}\rho s\,dV é a taxa de variação temporal de entropia armazenada no CV;
  • \displaystyle \int_{\text{CS}}\rho s\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA é o fluxo convectivo de entropia através da superfície (saída positiva se houver fluxo para fora do CV);
  • \displaystyle \sum_k \frac{\dot{Q}_k}{T_k} é a soma das transferências de entropia por calor através de contatos discretos à temperatura \,T_k;
  • \dot{S}_\text{gen} é a taxa total de geração de entropia dentro do CV (sempre \ge 0).

Passo 5

Interpretação prática e formas úteis para prova: muitas vezes há calor distribuído ao longo da superfície (não apenas contatos discretos). Nesse caso representamos a transferência de entropia por calor por uma integral usando o vetor fluxo de calor \mathbf{q} (W/m², positivo no sentido do vetor). A contribuição de calor para o balanço em forma diferencial aparece como -\nabla\cdot\!\left(\dfrac{\mathbf{q}}{T}\right) no volume. Assim, aplicando o teorema da divergência à integral superficial e colocando a integral de calor em forma volumétrica obtemos a forma local (diferencial) do balanço de entropia:
\frac{\partial(\rho s)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho s\,\mathbf{v})=-\nabla\cdot\!\left(\frac{\mathbf{q}}{T}\right)+\sigma,
onde \sigma é a densidade volumétrica de geração de entropia (unidades: \mathrm{W/(m^3\! \cdot K)} ou \mathrm{kg/(m^3\! \cdot s)} se expressa por massa), e satisfaz \sigma\ge 0 ponto a ponto. Esta é a forma local (conservação/geração de entropia).

Passo 6

Agora vamos aprofundar o que está dentro de \sigma (esse é o conteúdo físico da segunda lei para fluidos reais). Para um fluido contínuo, irreversibilidades típicas são: condução de calor (gradiente de temperatura), dissipação viscosa (atrito interno) e transporte difusivo de espécies químicas. A expressão termodinâmica clássica para \sigma é
\sigma=\mathbf{q}\cdot\nabla\!\left(\frac{1}{T}\right)+\frac{\Phi}{T}+\sum_i\mathbf{j}_i\cdot\nabla\!\left(-\frac{\mu_i}{T}\right)\ge 0,
onde:
  • \mathbf{q} é o vetor fluxo de calor (W/m²),
  • \mathbf{q}\cdot\nabla(1/T) representa a produção de entropia por condução de calor (para Fourier \mathbf{q}=-k\nabla T isso é k|\nabla T|^2/T^2\ge0),
  • \Phi é a taxa volumétrica de dissipação viscosa (também chamada de função de dissipação), frequentemente escrita como \Phi=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}, com \boldsymbol{\tau} tensor de tensões viscosas; \Phi/T é a contribuição viscosa;
  • \mathbf{j}_i é o fluxo difusivo de espécie i e \mu_i seu potencial químico; o termo com \mathbf{j}_i representa geração por difusão e reações químicas (se presentes).
    Essa expressão mostra explicitamente por que \sigma\ge0: com leis constitutivas físicas (Fourier, leis viscosas de Newton, leis de difusão), cada parcela dá contribuição não-negativa.

Passo 7

Formas úteis para provas e aplicações práticas (resumo operacional):
  • Forma integral geral:
\frac{d}{dt}\int_{\text{CV}}\rho s\,dV+\int_{\text{CS}}\rho s\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA=\sum_k\frac{\dot{Q}_k}{T_k}+\dot{S}_\text{gen}.
  • Para regime estacionário (termo temporal zero) e com entradas/saídas discretas de massa:
\sum_{\text{out}}\dot{m}\,s_{\text{out}}-\sum_{\text{in}}\dot{m}\,s_{\text{in}}=\sum_k\frac{\dot{Q}_k}{T_k}+\dot{S}_\text{gen},
ou reorganizando para obter a geração de entropia
\dot{S}_\text{gen}=\sum_{\text{out}}\dot{m}\,s_{\text{out}}-\sum_{\text{in}}\dot{m}\,s_{\text{in}}-\sum_k\frac{\dot{Q}_k}{T_k}.
Isto é muito prático: calcule entropia que sai menos entropia que entra e subtraia a entropia que entrou por calor; o resto é entropia gerada internamente (irreversibilidades).
  • Forma local diferencial (útil para análise ponto a ponto e para simulações CFD):
\frac{\partial(\rho s)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho s\,\mathbf{v})=-\nabla\cdot\!\left(\frac{\mathbf{q}}{T}\right)+\sigma,
com
\sigma=\mathbf{q}\cdot\nabla\!\left(\frac{1}{T}\right)+\frac{\Phi}{T}+\sum_i\mathbf{j}_i\cdot\nabla\!\left(-\frac{\mu_i}{T}\right)\ge0.
Na prova: saber usar a forma integral para CVs com entradas/saídas discretas e a forma local quando trabalhar com equações diferenciais/CFD.

Passo 8

Como usar isso em prática (passo-a-passo operacional em prova ou análise):
  1. Identifique CV, entradas/saídas de massa e superfícies de calor.
  2. Se for regime estacionário, use a versão sem o termo temporal; calcule \dot{m}s em cada fluxo (use tabelas termodinâmicas ou relações do gás perfeito para obter s).
  3. Some os termos \sum\dot{Q}_k/T_k (cada transferência de calor precisa do valor de temperatura de contato T_k). Se calor for distribuído com fluxo \mathbf{q}, converta para integral superficial ou para forma local.
  4. Calcule \dot{S}_\text{gen} por diferença: irreversibilidades mensuradas. Se quiser detalhar origem da irreversibilidade, passe à forma local e calcule \sigma com os termos de condução (gradiente de T), dissipação viscosa \Phi e difusão.
  5. Interprete: \dot{S}_\text{gen}=0 significa processo reversível ideal; \dot{S}_\text{gen}>0 quantifica perdas reais (ineficiências).

Passo 9

Alguns exemplos simples de aplicação prática (como usar a equação nas situações reais):
  • Em trocadores de calor: comparar \sum \dot{Q}_k/T_k com fluxos de massa-entropia para avaliar irreversibilidades e otimizar geometrias para minimizar \dot{S}_\text{gen}.
  • Em turbinas e compressores: para CV ao redor da máquina em regime estacionário, calcular \dot{S}_\text{gen} a partir de fluxos mássicos e calor para quantificar perdas irreversíveis e relacionar com perdas exergéticas (controle de eficiência).
  • Em escoamentos internos (tubulações) com aquecimento: estimar contribuição de condução (termo \mathbf{q}\cdot\nabla(1/T)) e de dissipação viscosa \Phi/T para a geração total de entropia; útil para projeto de isolamento e escolha de bombas.
  • Em choques e escoamentos compressíveis: uso da versão CV para quantificar aumento de entropia através de uma onda de choque (adiabático, logo \dot{Q}=0, então \dot{S}_\text{gen}=\sum\dot{m}s_\text{out}-\sum\dot{m}s_\text{in}). Isso permite avaliar perdas irreversíveis em bocais e difusores supersônicos.
  • Em mistura e combustão: usar o termo de difusão e variações químicas (termos com \mu_i) para quantificar irreversibilidades associadas à mistura e reações, fundamental em projeto de câmaras de combustão e conversores catalíticos.
  • Em otimização térmica (minimização de entropia): princípio prático de projeto onde minimizar \dot{S}_\text{gen} costuma equivaler a reduzir perdas (ex.: redes de tubulações, trocadores, sistemas HVAC).

Passo 10

Observações finais rápidas para a prova (dicas de mochila):
  • Se o enunciado der fluxos massivos discretos e calor a uma temperatura conhecida, use a forma estacionária discreta (Passo 7) — é a mais fácil e muito usada em exames.
  • Se apareçam gradientes e leis constitutivas (Fourier, lei de viscosidade de Newton), passe à forma local para demonstrar positividade das parcelas de geração.
  • Sempre destaque que \dot{S}_\text{gen}\ge0 (segunda lei) e relacione entropia gerada com perda de disponibilidade/exergia se pedirem eficiência.

Resposta

\frac{d}{dt}\int_{\text{CV}}\rho s\,dV+\int_{\text{CS}}\rho s\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA=\sum_{k}\frac{\dot{Q}_k}{T_k}+\dot{S}_\text{gen}
\frac{\partial(\rho s)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho s\,\mathbf{v})=-\nabla\cdot\!\left(\frac{\mathbf{q}}{T}\right)+\sigma,\qquad \sigma=\mathbf{q}\cdot\nabla\!\left(\frac{1}{T}\right)+\frac{\Phi}{T}+\sum_i\mathbf{j}_i\cdot\nabla\!\left(-\frac{\mu_i}{T}\right)\ge0
Aplicações práticas: avaliação de irreversibilidades em trocadores de calor e minimização de geração de entropia; análise de eficiência e perdas em turbinas/compresssores/nozzles; quantificação de perdas em escoamentos em tubulações (dissipação viscosa + condução); avaliação de choque e processos compressíveis (aumento de entropia através do choque); análise de mistura e combustão (termos difusivos e reações químicas); uso em exergy/diagnóstico de sistemas para otimização de projeto.

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