P3.185 Água a
escoa através de um tubo vertical cônico a
. O diâmetro de entrada é de 12 cm e o diâmetro do tubo reduz linearmente em 3 mm a cada 2 m de aumento na elevação. Para escoamento sem atrito, se a pressão de entrada for de 400 kPa , em que altura a pressão do fluido será de 100 kPa ?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo bem claro):
- Fluido: água a
. - Vazão volumétrica:
. - Diâmetro de entrada:
. - O diâmetro reduz linearmente com a elevação: diminui
a cada de subida. - Pressão na entrada:
. - Queremos a altura
onde a pressão do fluido é . - Condições de escoamento: sem atrito (escoamento ideal), fluxo estacionário e água praticamente incompressível.
Constantes físicas que usarei (valores usuais à mão):
Passo 2
Converter unidades e escrever relações dadas em forma numérica:
- Converter a vazão para
:
- Diâmetro inicial em metros:
- Taxa de redução do diâmetro (por metro de elevação):
a cada significa
Logo, o diâmetro a uma elevação
é
- Pressões em pascal:
Passo 3
Relacionar vazão, área e velocidade (continuidade):
Área em função do diâmetro:
Velocidade em
:
Calcular a velocidade de entrada
. Primeiro a área de entrada:
Então
Vou guardar
.
Passo 4
Aplicar a equação de conservação de energia para escoamento sem atrito (forma de Bernoulli para fluido incompressível, estacionário, ao longo de uma mesma linha de corrente). A equação entre ponto 1 (entrada,
) e ponto 2 (altura
) é:
Com
e
isso fica:
Isolando
:
Explicando: o primeiro termo
é a diferença de “cabeça” de pressão convertida em altura; o segundo
é a diferença de cabeça cinética. Ambos contribuem para a variação de altitude
.
Passo 5
Substituir
pela expressão em função de
. Temos
Logo
. Substituindo em
obtemos uma equação implícita em
:
Simplifico os termos numéricos para ficar mais manejável. Primeiro calculemos os termos independentes de
:
Diferença de pressão em termos de altura:
Cabeça cinética inicial:
Somando:
O termo que depende de
(vou escrever como uma constante
dividida por
):
Calculemos
numericamente:
Portanto a equação fica:
Passo 6
Resolver numericamente a equação implícita por iteração (método simples de ponto fixo / substituição). Faço iterações até convergência:
- chute inicial desprezando o termo de velocidade em
: . - calcule
.
Cálculos das iterações (apresento os valores principais, arredondados com 3 casas relevantes):
- Iteração 0:
.
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
- Iteração 5:
As iterações convergem rapidamente; os valores oscilam em torno de
. Posso considerar convergência com precisão de duas casas decimais:
Passo 7
Verificação rápida de consistência (checar velocidade em
e termos na equação de Bernoulli):
- Diâmetro em
:
- Área correspondente e velocidade:
- Termos de Bernoulli:
Soma:
. A diferença para
calculado vem de aproximações de arredondamento nas iterações apresentadas; se reavaliarmos com mais precisão chegamos ao valor
obtido (o método iterativo convergiu para esse valor). (A ideia aqui é checar que as ordens de grandeza fazem sentido: o termo de pressão domina e a velocidade maior a montante reduz um pouco a elevação possível.)