Uma peça frágil possui um estado de tensões combinado e resistências (em kpsi) de:
e
. Determine a tensão efetiva e o fator de segurança contra falha estática usando a teoria de Mohr modificada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (tirei estes números do enunciado):
-
kpsi -
kpsi -
kpsi - resistência à tração uniaxial:
kpsi - resistência à compressão uniaxial:
kpsi
-
-
O enunciado pede:
- A tensão efetiva segundo a teoria de Mohr modificada.
- O fator de segurança contra falha estática (usando a mesma teoria).
Passo 2
Primeiro precisamos obter as tensões principais do estado plano de tensões
. Explico a fórmula e os termos:
- As tensões principais
e (onde é a maior) para um caso de tensão plana são dadas por:
Nessa fórmula:
-
é o centro do círculo de Mohr (a média das tensões normais); -
é a metade da diferença entre as normais; -
é a tensão de cisalhamento no plano; - a raiz quadrada dá o raio do círculo de Mohr.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo com os números fornecidos.
Passo 3
Calculemos a média e o termo dentro da raiz:
- Média:
- Metade da diferença:
Logo
- Cisalhamento ao quadrado:
- Soma dentro da raiz:
- Raiz:
Agora as tensões principais:
Arredondando de forma prática para a análise:
Passo 4
Agora vamos aplicar a teoria de Mohr modificada. Primeiro explico a ideia e o critério em linguagem simples:
- A teoria de Mohr modificada leva em conta que a resistência à tração
e à compressão são diferentes. Graficamente, o envelope de falha em coordenadas de tensão normal passa por no eixo da tração e por no eixo da compressão, e a linha que liga esses pontos representa o critério para estados mistos tensão/compressão. - O critério tem formas diferentes dependendo dos sinais das tensões principais:
- Se ambas as tensões principais forem de tração (
e ), a falha por tração ocorre quando a maior tensão principal atinge . Nesse caso a tensão efetiva que compara com é simplesmente . - Se existir uma tensão principal em tração e outra em compressão (
e ), usa-se a forma mista do critério:
(note que é negativa aí, então o segundo termo contribui positivamente). - Se ambas forem compressivas, a falha compressiva é governada por
.
- Se ambas as tensões principais forem de tração (
No nosso caso encontrado no Passo 3 temos
e
: ambas são tração. Portanto usamos a primeira forma: a tensão efetiva segundo Mohr modificada é a maior tensão principal
.
Passo 5
Calcule a tensão efetiva (segundo o caso identificado):
(Expliquei acima por que não usei a forma mista: porque
não é compressiva.)
Passo 6
Agora o fator de segurança estático. Para o caso de tração pura (ambas principais positivas) o colapso ocorre quando
atinge
. O fator de segurança
é a relação entre a resistência última e a tensão efetiva atual:
Substituindo:
Arredondando de forma prática:
Passo 7
Interpretação curta e palavra amiga: a peça está segura segundo Mohr-modificado com fator de segurança cerca de
. Não é um folga enorme — se você tiver margem desejada maior (por exemplo
), seria necessária reduzir as tensões ou aumentar a resistência. Força aí — isso dá para estudar e revisar mais exercícios desse tipo!
Resposta
\sigma_{efetiva} \approx 12{,}648\ kpsi
n \approx 1{,}58
n \approx 1{,}58