Uma peça frágil possui um estado de tensões combinado e resistências (em kpsi) de: \sigma_{x}=10, \sigma_{y}=5, \tau_{x y}=4,5, S_{u t}=20 e S_{u c}=80. Determine a tensão efetiva e o fator de segurança contra falha estática usando a teoria de Mohr modificada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (tirei estes números do enunciado):
    • \sigma_x=10 kpsi
    • \sigma_y=5 kpsi
    • \tau_{xy}=4{,}5 kpsi
    • resistência à tração uniaxial: S_{ut}=20 kpsi
    • resistência à compressão uniaxial: S_{uc}=80 kpsi
  • O enunciado pede:
    1. A tensão efetiva segundo a teoria de Mohr modificada.
    2. O fator de segurança contra falha estática (usando a mesma teoria).

Passo 2

Primeiro precisamos obter as tensões principais do estado plano de tensões (\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}). Explico a fórmula e os termos:
  • As tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 (onde \sigma_1 é a maior) para um caso de tensão plana são dadas por:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Nessa fórmula:
  • \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} é o centro do círculo de Mohr (a média das tensões normais);
  • \left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right) é a metade da diferença entre as normais;
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no plano;
  • a raiz quadrada dá o raio do círculo de Mohr.
    Vou aplicar essa fórmula passo a passo com os números fornecidos.

Passo 3

Calculemos a média e o termo dentro da raiz:
  • Média:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{10+5}{2}=7{,}5\\ \text{kpsi}.
  • Metade da diferença:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{10-5}{2}=2{,}5\\ \text{kpsi}.
Logo
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2=(2{,}5)^2=6{,}25\\ \text{(kpsi)}^2.
  • Cisalhamento ao quadrado:
\tau_{xy}^2=(4{,}5)^2=20{,}25\\ \text{(kpsi)}^2.
  • Soma dentro da raiz:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2=6{,}25+20{,}25=26{,}5\\ \text{(kpsi)}^2.
  • Raiz:
\sqrt{26{,}5}=5{,}147815\\ \text{kpsi}\\ \text{(aprox.)}.
Agora as tensões principais:
\sigma_1=7{,}5+5{,}147815=12{,}647815\\ \text{kpsi},
\sigma_2=7{,}5-5{,}147815=2{,}352185\\ \text{kpsi}.
Arredondando de forma prática para a análise:
\sigma_1\approx12{,}648\\ \text{kpsi},\qquad \sigma_2\approx2{,}352\\ \text{kpsi}.

Passo 4

Agora vamos aplicar a teoria de Mohr modificada. Primeiro explico a ideia e o critério em linguagem simples:
  • A teoria de Mohr modificada leva em conta que a resistência à tração S_{ut} e à compressão S_{uc} são diferentes. Graficamente, o envelope de falha em coordenadas de tensão normal passa por +S_{ut} no eixo da tração e por -S_{uc} no eixo da compressão, e a linha que liga esses pontos representa o critério para estados mistos tensão/compressão.
  • O critério tem formas diferentes dependendo dos sinais das tensões principais:
    • Se ambas as tensões principais forem de tração ( \sigma_1\ge0 e \sigma_2\ge0), a falha por tração ocorre quando a maior tensão principal atinge S_{ut}. Nesse caso a tensão efetiva que compara com S_{ut} é simplesmente \sigma_1.
    • Se existir uma tensão principal em tração e outra em compressão ( \sigma_1\ge0 e \sigma_2\le0), usa-se a forma mista do critério:
    \frac{\sigma_1}{S_{ut}}-\frac{\sigma_2}{S_{uc}}=1(note que \sigma_2 é negativa aí, então o segundo termo contribui positivamente).
    • Se ambas forem compressivas, a falha compressiva é governada por |\sigma_2|=S_{uc}.
No nosso caso encontrado no Passo 3 temos \sigma_1\approx12{,}648>0 e \sigma_2\approx2{,}352>0: ambas são tração. Portanto usamos a primeira forma: a tensão efetiva segundo Mohr modificada é a maior tensão principal \sigma_1.

Passo 5

Calcule a tensão efetiva (segundo o caso identificado):
\sigma_{\text{efetiva}}=\sigma_1\approx12{,}648\\ \text{kpsi}.
(Expliquei acima por que não usei a forma mista: porque \sigma_2 não é compressiva.)

Passo 6

Agora o fator de segurança estático. Para o caso de tração pura (ambas principais positivas) o colapso ocorre quando \sigma_1 atinge S_{ut}. O fator de segurança n é a relação entre a resistência última e a tensão efetiva atual:
n=\frac{S_{ut}}{\sigma_{\text{efetiva}}}.
Substituindo:
n=\frac{20}{12{,}647815}\approx1{,}5818.
Arredondando de forma prática:
n\approx1{,}58.

Passo 7

Interpretação curta e palavra amiga: a peça está segura segundo Mohr-modificado com fator de segurança cerca de 1{,}58. Não é um folga enorme — se você tiver margem desejada maior (por exemplo n\ge2), seria necessária reduzir as tensões ou aumentar a resistência. Força aí — isso dá para estudar e revisar mais exercícios desse tipo!

Resposta

\sigma_{efetiva} \approx 12{,}648\ kpsi
n \approx 1{,}58

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