Um elemento diferencial está sujeito às tensões (em kpsi):
. Um material frágil possui resistências (em kpsi)
. Calcule o fator de segurança e desenhe os diagramas
de cada teoria, usando:
Teoria de Mohr modificada
Teoria de Mohr modificada
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
-
Dados (pegos do enunciado):
- Tensões principais (em kpsi):
, , . - Resistências do material frágil (em kpsi):
(tração), (compressão).
- Tensões principais (em kpsi):
-
O enunciado pede:
- Calcular o fator de segurança (uma única resposta numérica).
- Desenhar (descrever) os diagramas
de cada teoria — aqui foi especificada a Teoria de Mohr modificada, logo farei os diagramas/linhas de falha correspondentes e mostrarei em que lugar está o estado de tensões aplicado.
Passo 2
Breve explicação didática da Teoria de Mohr modificada e como ela é usada para obter o fator de segurança (passo a passo, sem pular etapas).
-
Ideia geométrica (Mohr): entre duas tensões principais
e forma-se um círculo de Mohr com centro e raio . Para materiais frágeis a superfície de ruptura pode ser representada por um envoltório que relaciona a componente normal e a componente de cisalhamento na face crítica. A “Teoria de Mohr modificada” simplifica esse envoltório de modo a atender as resistências distintas em tração e compressão: a fronteira de falha, em termos das componentes principais, pode ser escrita por uma relação linear entre maiores e menores (veremos a forma abaixo). -
Forma prática usada (casos e razão):
- A teoria fornece uma função homogênea de grau 1 em tensões, isto é, se todas as tensões são multiplicadas por um fator
, o valor da função de falha é multiplicado por . Isso permite definir um fator de segurança como o multiplicador de carga necessário para levar o estado atual até a fronteira de falha. - Para o caso misto (um principal em tração e outro em compressão) a forma prática da fronteira de falha adotada pela Mohr modificada (forma linear entre pontos de falha uniaxial) é
onde é a componente mais trativa do par considerado e a mais compressiva (sinais devem ser usados; exemplos abaixo). - Como a função é homogênea, se o estado de tensões aplicado é
e a função de falha (lado esquerdo) avaliada com essas tensões vale , então o multiplicador de carga que provoca falha satisfaz . Assim o fator de segurança (o quanto se pode aumentar as cargas até a falha) é Este é um modo prático e habitual de definir em critérios multiplicativos (também interpretável como “quantas vezes a carga atual causa falha”).
- A teoria fornece uma função homogênea de grau 1 em tensões, isto é, se todas as tensões são multiplicadas por um fator
-
Casos particulares (fórmulas simples que saem da mesma relação):
- Se, num par de tensões, ambas são não negativas (apenas tração ou zero), então a condição reduz-se a
na ruptura uniaxial; o fator de segurança para esse par fica . - Se ambas são compressivas (não-positivas), análogo:
. - Se há um sinal positivo e outro negativo (caso misto, típico aqui), usa-se
Atenção aos sinais: para compressão é negativo, então resulta num termo positivo.
- Se, num par de tensões, ambas são não negativas (apenas tração ou zero), então a condição reduz-se a
Passo 3
Aplicar a regra da Teoria de Mohr modificada aos três pares possíveis de tensões principais (porque a falha pode ocorrer associada a qualquer círculo de Mohr formado por um par de componentes principais). Para 3D consideram-se os pares
,
e
. Vou calcular o fator de segurança para cada par e depois tomar o mais crítico (menor
).
-
Par
. - Identificamos a parte em tração:
(kpsi). A outra é zero. - Calcular
: - Fator de segurança para este par:
- Identificamos a parte em tração:
-
Par
. - Aqui
e . - Calcular
: - Fator de segurança:
- Aqui
-
Par
. - Temos
e . - Calcular
: - Fator de segurança:
- Temos
Passo 4
Escolher o fator de segurança global e interpretar.
-
A falha começa pelo par que produzir o menor fator de segurança (o mais crítico). Temos:
-
O menor é
. Portanto o fator de segurança do estado dado segundo a Teoria de Mohr modificada é -
Intuição rápida: o par
combina a maior tração com a maior compressão, gerando o círculo de Mohr mais crítico.
Passo 5
Desenhos / diagramas
na Teoria de Mohr modificada — descrição e equações para desenhar (como o enunciado pediu “desenhe”, aqui descrevo exatamente o que plotar e os pontos relevantes; você pode reproduzir à mão usando estas coordenadas).
-
Eixos: horizontal
(kpsi), vertical (kpsi). (Lembre que compressão é negativa.) -
Linha de falha (envelope) da Teoria de Mohr modificada (para o par
vs ): - Equação da linha (obtida de
): ou, expandindo, - Para os dados
e a linha é - Interceptos úteis:
- Quando
, (ponto de falha em tração uniaxial). - Quando
, (ponto de falha em compressão uniaxial).
- Quando
- Região segura: os pontos
que satisfazem ficam abaixo/à esquerda da linha (dependendo da região do gráfico); a região acima/à direita da linha indica ruptura.
- Equação da linha (obtida de
-
Pontos a marcar no diagrama:
- Estado aplicado (ponto real das tensões):
. Esse ponto está bem dentro da região segura (pois ao substituí-lo na fórmula obtivemos ). - Ponto crítico (quando a carga é aumentada até causar falha): multiplica-se o vetor de tensões pelo fator de carga crítico
. Assim o ponto na fronteira (ponto de falha por incremento de carga) é Verifique que esse ponto satisfaz a equação da linha de falha:
- Estado aplicado (ponto real das tensões):
-
Diagramas para os outros pares (para completar):
- Par
: equação idêntica em forma substituindo por na fórmula. Com nossos valores a linha é . Marcar o ponto aplicado e o ponto de falha por escala : , que é precisamente o intercepto de tração. - Par
: linha (mesma forma). Ponto aplicado e ponto de falha por escala : , que coincide com o intercepto de compressão.
- Par
-
Resumo visual (como desenhar à mão):
- Trace eixos
(horizontal) e (vertical). - Marque
na horizontal e na vertical; trace a linha reta entre esses dois pontos — essa é a linha de falha da Mohr modificada. - Marque o ponto aplicado
e observe que ele fica dentro da região segura. - Se quiser marcar até onde dá para aumentar a carga sem falhar, multiplique o ponto aplicado por
e marque o ponto — ele ficará sobre a linha de falha.
- Trace eixos
Resposta
Equação da linha de falha (Teoria de Mohr modificada) no plano