Um elemento diferencial está sujeito às tensões (em kpsi): σ_{1}=10, σ_{2}= 0, σ_{3}=-20. Um material frágil possui resistências (em kpsi) S_{u t}=50, S_{u c}=90. Calcule o fator de segurança e desenhe os diagramas σ_{1}-σ_{3} de cada teoria, usando:
Teoria de Mohr modificada

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Tensões principais (em kpsi): \sigma_{1}=10, \sigma_{2}=0, \sigma_{3}=-20.
    • Resistências do material frágil (em kpsi): S_{ut}=50 (tração), S_{uc}=90 (compressão).
  • O enunciado pede:
    1. Calcular o fator de segurança (uma única resposta numérica).
    2. Desenhar (descrever) os diagramas \sigma_{1}-\sigma_{3} de cada teoria — aqui foi especificada a Teoria de Mohr modificada, logo farei os diagramas/linhas de falha correspondentes e mostrarei em que lugar está o estado de tensões aplicado.

Passo 2

Breve explicação didática da Teoria de Mohr modificada e como ela é usada para obter o fator de segurança (passo a passo, sem pular etapas).
  • Ideia geométrica (Mohr): entre duas tensões principais \sigma_a e \sigma_b forma-se um círculo de Mohr com centro \dfrac{\sigma_a+\sigma_b}{2} e raio \dfrac{\sigma_a-\sigma_b}{2}. Para materiais frágeis a superfície de ruptura pode ser representada por um envoltório que relaciona a componente normal \sigma e a componente de cisalhamento \tau na face crítica. A “Teoria de Mohr modificada” simplifica esse envoltório de modo a atender as resistências distintas em tração e compressão: a fronteira de falha, em termos das componentes principais, pode ser escrita por uma relação linear entre \sigma maiores e menores (veremos a forma abaixo).
  • Forma prática usada (casos e razão):
    • A teoria fornece uma função homogênea de grau 1 em tensões, isto é, se todas as tensões são multiplicadas por um fator k, o valor da função de falha é multiplicado por k. Isso permite definir um fator de segurança n como o multiplicador de carga necessário para levar o estado atual até a fronteira de falha.
    • Para o caso misto (um principal em tração e outro em compressão) a forma prática da fronteira de falha adotada pela Mohr modificada (forma linear entre pontos de falha uniaxial) é \frac{\sigma_{max}}{S_{ut}} - \frac{\sigma_{min}}{S_{uc}} = 1,onde \sigma_{max} é a componente mais trativa do par considerado e \sigma_{min} a mais compressiva (sinais devem ser usados; exemplos abaixo).
    • Como a função é homogênea, se o estado de tensões aplicado é (\sigma_a,\sigma_b) e a função de falha (lado esquerdo) avaliada com essas tensões vale f, então o multiplicador de carga k que provoca falha satisfaz k f = 1. Assim o fator de segurança (o quanto se pode aumentar as cargas até a falha) é n = \frac{1}{f}.Este é um modo prático e habitual de definir n em critérios multiplicativos (também interpretável como “quantas vezes a carga atual causa falha”).
  • Casos particulares (fórmulas simples que saem da mesma relação):
    • Se, num par de tensões, ambas são não negativas (apenas tração ou zero), então a condição reduz-se a \dfrac{\sigma_{\text{maior}}}{S_{ut}}=1 na ruptura uniaxial; o fator de segurança para esse par fica n=\dfrac{1}{\sigma_{\text{maior}}/S_{ut}}=\dfrac{S_{ut}}{\sigma_{\text{maior}}}.
    • Se ambas são compressivas (não-positivas), análogo: n=\dfrac{S_{uc}}{|\sigma_{\text{mais compressiva}}|}.
    • Se há um sinal positivo e outro negativo (caso misto, típico aqui), usa-se f=\frac{\sigma_{\text{tensão}}}{S_{ut}} - \frac{\sigma_{\text{compressão}}}{S_{uc}}, \qquad n=\frac{1}{f}.ããAtenção aos sinais: para compressão \sigma é negativo, então -\dfrac{\sigma_{\text{compressão}}}{S_{uc}}ã resulta num termo positivo.

Passo 3

Aplicar a regra da Teoria de Mohr modificada aos três pares possíveis de tensões principais (porque a falha pode ocorrer associada a qualquer círculo de Mohr formado por um par de componentes principais). Para 3D consideram-se os pares (\sigma_1,\sigma_2), (\sigma_2,\sigma_3) e (\sigma_1,\sigma_3). Vou calcular o fator de segurança para cada par e depois tomar o mais crítico (menor n).
  • Par (\sigma_1,\sigma_2)=(10,0).
    • Identificamos a parte em tração: \sigma_{\text{tensão}}=\sigma_1=10ã (kpsi). A outra é zero.
    • Calcular f: f_{12}=\frac{\sigma_1}{S_{ut}}-\frac{\sigma_2}{S_{uc}} =\frac{10}{50}-\frac{0}{90}=\frac{1}{5}=0,2.
    • Fator de segurança para este par: n_{12}=\frac{1}{f_{12}}=\frac{1}{0,2}=5.
  • Par (\sigma_2,\sigma_3)=(0,-20).
    • Aqui \sigma_{\text{tensão}}=\sigma_2=0ã e \sigma_{\text{compressão}}=\sigma_3=-20ã.
    • Calcular f: f_{23}=\frac{\sigma_2}{S_{ut}}-\frac{\sigma_3}{S_{uc}} =\frac{0}{50}-\frac{-20}{90}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\approx0,222222\ldots
    • Fator de segurança: n_{23}=\frac{1}{f_{23}}=\frac{1}{2/9}=\frac{9}{2}=4,5.
  • Par (\sigma_1,\sigma_3)=(10,-20).
    • Temos \sigma_{\text{tensão}}=\sigma_1=10ã e \sigma_{\text{compressão}}=\sigma_3=-20ã.
    • Calcular f: f_{13}=\frac{\sigma_1}{S_{ut}}-\frac{\sigma_3}{S_{uc}} =\frac{10}{50}-\frac{-20}{90}=\frac{1}{5}+\frac{2}{9}=\frac{9+10}{45}=\frac{19}{45}\approx0,422222\ldots
    • Fator de segurança: n_{13}=\frac{1}{f_{13}}=\frac{45}{19}\approx2,368421\ldots

Passo 4

Escolher o fator de segurança global e interpretar.
  • A falha começa pelo par que produzir o menor fator de segurança (o mais crítico). Temos:
    n_{12}=5,\quad n_{23}=4,5,\quad n_{13}=\frac{45}{19}\approx2,368421\ldots
  • O menor é n_{13}. Portanto o fator de segurança do estado dado segundo a Teoria de Mohr modificada é
    n=n_{13}=\frac{45}{19}\approx2,37.
  • Intuição rápida: o par (\sigma_1,\sigma_3) combina a maior tração com a maior compressão, gerando o círculo de Mohr mais crítico.

Passo 5

Desenhos / diagramas \sigma_{1}-\sigma_{3} na Teoria de Mohr modificada — descrição e equações para desenhar (como o enunciado pediu “desenhe”, aqui descrevo exatamente o que plotar e os pontos relevantes; você pode reproduzir à mão usando estas coordenadas).
  • Eixos: horizontal \sigma_{3} (kpsi), vertical \sigma_{1} (kpsi). (Lembre que compressão é negativa.)
  • Linha de falha (envelope) da Teoria de Mohr modificada (para o par \sigma_1 vs \sigma_3):
    • Equação da linha (obtida de \dfrac{\sigma_1}{S_{ut}}-\dfrac{\sigma_3}{S_{uc}}=1): \sigma_{1}=S_{ut}\!\left(1+\frac{\sigma_{3}}{S_{uc}}\right)ou, expandindo, \sigma_{1}=S_{ut}+\frac{S_{ut}}{S_{uc}}\,\sigma_{3}.
    • Para os dados S_{ut}=50 e S_{uc}=90 a linha é \sigma_{1}=50+\frac{50}{90}\sigma_{3}=50+\frac{5}{9}\sigma_{3}.
    • Interceptos úteis:
      • Quando \sigma_{3}=0, \sigma_{1}=50 (ponto de falha em tração uniaxial).
      • Quando \sigma_{1}=0, \sigma_{3}=-90 (ponto de falha em compressão uniaxial).
    • Região segura: os pontos (\sigma_3,\sigma_1) que satisfazem \frac{\sigma_1}{S_{ut}}-\frac{\sigma_3}{S_{uc}}<1ficam abaixo/à esquerda da linha (dependendo da região do gráfico); a região acima/à direita da linha indica ruptura.
  • Pontos a marcar no diagrama:
    • Estado aplicado (ponto real das tensões): (\sigma_3,\sigma_1)=(-20,\,10). Esse ponto está bem dentro da região segura (pois ao substituí-lo na fórmula obtivemos f_{13}\approx0,422<1).
    • Ponto crítico (quando a carga é aumentada até causar falha): multiplica-se o vetor de tensões pelo fator de carga crítico k=n_{13}\approx2,368421. Assim o ponto na fronteira (ponto de falha por incremento de carga) é (\sigma_3^{(f)},\sigma_1^{(f)})=n_{13}\,(\sigma_3,\sigma_1) =\left(-\frac{900}{19},\,\frac{450}{19}\right)\approx(-47,37,\;23,68).Verifique que esse ponto satisfaz a equação da linha de falha: \frac{23,68421}{50}-\frac{-47,36842}{90}\approx0,473684+0,526316=1.
  • Diagramas para os outros pares (para completar):
    • Par (\sigma_1,\sigma_2): equação idêntica em forma substituindo \sigma_2 por \sigma_3 na fórmula. Com nossos valores a linha é \sigma_1=50+\tfrac{5}{9}\sigma_2. Marcar o ponto aplicado (\sigma_2,\sigma_1)=(0,10) e o ponto de falha por escala n_{12}=5: (\sigma_2^{(f)},\sigma_1^{(f)})=(0\cdot5,10\cdot5)=(0,50), que é precisamente o intercepto de tração.
    • Par (\sigma_2,\sigma_3): linha \sigma_2=50+\tfrac{5}{9}\sigma_3 (mesma forma). Ponto aplicado (\sigma_3,\sigma_2)=(-20,0) e ponto de falha por escala n_{23}=4,5: (\sigma_3^{(f)},\sigma_2^{(f)})=(-20\cdot4,5,\;0\cdot4,5)=(-90,\;0), que coincide com o intercepto de compressão.
  • Resumo visual (como desenhar à mão):
    1. Trace eixos \sigma_3 (horizontal) e \sigma_1 (vertical).
    2. Marque \sigma_3=-90 na horizontal e \sigma_1=50 na vertical; trace a linha reta entre esses dois pontos — essa é a linha de falha da Mohr modificada.
    3. Marque o ponto aplicado (-20,10) e observe que ele fica dentro da região segura.
    4. Se quiser marcar até onde dá para aumentar a carga sem falhar, multiplique o ponto aplicado por n\approx2,37 e marque o ponto (-47,37,\;23,68) — ele ficará sobre a linha de falha.

Resposta

n\approx2,37
Equação da linha de falha (Teoria de Mohr modificada) no plano (\sigma_{3},\sigma_{1}): \displaystyle \sigma_{1}=S_{ut}+\frac{S_{ut}}{S_{uc}}\,\sigma_{3} (com S_{ut}=50,\\ S_{uc}=90 \sigma_{1}=50+\tfrac{5}{9}\sigma_{3}).

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