Uma pedra lançada numa lagoa provoca uma série de ondulações concêntricas. Se o raio r da onda exterior cresce uniformemente à taxa de 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a taxa com que a área de água pertubada está crescendo
quando r=3 \mathrm{~m}
Seja A=\pi r^{2} a área da circunferência de raio r. Assim, sua derivada é dada por,
\frac{d A}{d t}=\pi 2 r \frac{d r}{d t}
Substituindo \frac{d r}{d t}=1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na equação anterior, obtemos \frac{d A}{d t}(r)=3,6 \pi r. Assim,
\frac{d A}{d t}(3)=33,9 m^{2} / s

Passo 1

O enunciado fala de uma pedra que provoca ondas concêntricas num lago. O raio externo da ondulação cresce a uma taxa constante de \tfrac{dr}{dt}=1,8 m/s e pede a taxa de crescimento da área perturbada quando r=3 m. O conteúdo aqui é aplicação de derivada a uma área circular, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos a área da região perturbada por
A = \pi r^2
e aplicamos derivada em relação ao tempo t, lembrando que r depende de t. Pela regra da cadeia:
\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\pi r^2\bigr) = \pi \cdot 2r \cdot \frac{dr}{dt}.

Passo 3

Substituímos a taxa conhecida \tfrac{dr}{dt}=1,8 m/s:
\frac{dA}{dt} = 2\pi r \times 1,8 = 3{,}6\pi\,r.

Passo 4

Para r=3 m, temos
\frac{dA}{dt}\bigl|_{r=3} = 3{,}6\pi \times 3 = 10{,}8\pi \approx 33{,}9\;\mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Resposta

\displaystyle \frac{dA}{dt}\bigl|_{r=3}=10{,}8\pi\approx33{,}9\;\mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

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