Uma pedra lançada numa lagoa provoca uma série de ondulações concêntricas. Se o raio r da onda exterior cresce uniformemente à taxa de 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a taxa com que a área de água pertubada está crescendo
quando r=6 \mathrm{~m}
Seja A=\pi r^{2} a área da circunferência de raio r. Assim, sua derivada é dada por,
\frac{d A}{d t}=\pi 2 r \frac{d r}{d t}
Substituindo \frac{d r}{d t}=1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na equação anterior, obtemos \frac{d A}{d t}(r)=3,6 \pi r. Assim,
\frac{d A}{d t}(6)=67,82 m^{2} / s

Passo 1

O enunciado diz que a fronteira da onda é um círculo de raio r que cresce a uma taxa constante de \frac{dr}{dt}=1,8\ \mathrm{m/s}. Precisamos achar a taxa de variação da área A desse círculo quando r=6\ \mathrm{m}. O conteúdo principal aqui é “taxas relacionadas” e vamos usar derivação implícita em relação ao tempo.

Passo 2

Escrevemos a relação entre a área do círculo e o raio:
A = \pi r^{2}.

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação ao tempo t, lembrando que A e r são funções de t:
\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\pi r^{2}\bigr) = \pi \cdot 2r \,\frac{dr}{dt}.

Passo 4

Substituímos a taxa \frac{dr}{dt}=1,8\ \mathrm{m/s}:
\frac{dA}{dt} = 2\pi r \times 1,8 = 3,6\pi\,r.

Passo 5

Avaliamo em r=6\ \mathrm{m}:
\frac{dA}{dt}\Bigl|_{r=6} = 3,6\pi \times 6 = 21,6\,\pi\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} \approx 67,9\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.

Resposta

\displaystyle \frac{dA}{dt}=21,6\pi\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}\approx67,9\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.

Exercícios relacionados