Uma pedra lançada numa lagoa provoca uma série de ondulações concêntricas. Se o raio
da onda exterior cresce uniformemente à taxa de
, determine a taxa com que a área de água pertubada está crescendo
quando
Seja
a área da circunferência de raio r. Assim, sua derivada é dada por,
Substituindo
na equação anterior, obtemos
. Assim,
quando
Passo 1
O enunciado diz que a fronteira da onda é um círculo de raio
que cresce a uma taxa constante de
\
. Precisamos achar a taxa de variação da área
desse círculo quando
\
. O conteúdo principal aqui é “taxas relacionadas” e vamos usar derivação implícita em relação ao tempo.
Passo 2
Escrevemos a relação entre a área do círculo e o raio:
Passo 3
Derivamos ambos os lados em relação ao tempo
, lembrando que
e
são funções de
:
Passo 4
Substituímos a taxa
\
:
Passo 5
Avaliamo em
\
: