(**) Uma pedra de peso \omega é jogada verticalmente para cima com velocidade inicial v_{0}. Se uma força constante f devido a resistência do ar age sobre a pedra durante todo o percurso,
(a) mostre que a altura máxima atingida pela pedra é dada por
h=\frac{v_{0}^{2}}{2 g(1+f / \omega)}
(b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo é dada por
v=v_{0}\left(\frac{\omega-f}{\omega+f}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado diz que uma pedra de peso \omega (logo massa m=\omega/g) é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v_{0}. Há uma força de resistência constante f que está sempre no sentido oposto ao da velocidade. Precisamos encontrar a altura máxima h atingida (parte a) e a velocidade v ao retornar ao solo (parte b). Vamos usar a Segunda Lei de Newton para movimento com aceleração constante e as equações de cinemática.

Passo 2

Durante a subida, o peso \omega e a resistência f atuam para baixo. A força resultante vale
F_{\text{up}}=-(\omega + f)
e a aceleração vertical é
a_{\text{up}}=\frac{F_{\text{up}}}{m} =-\frac{\omega+f}{m} =-g\Bigl(1+\frac{f}{\omega}\Bigr).

Passo 3

Para achar a altura máxima, usamos a equação de Torricelli (aceleração constante)
v^2 = v_{0}^2 + 2\,a_{\text{up}}\,h,
sabendo que no topo v=0. Substituindo a_{\text{up}}=-g(1+f/\omega) e isolando h, obtemos
0 = v_{0}^2 - 2\,g\Bigl(1+\frac{f}{\omega}\Bigr)\,h \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{v_{0}^{2}}{2\,g\bigl(1+f/\omega\bigr)}.

Passo 4

Na descida, a resistência f agora age para cima, enquanto o peso \omega age para baixo. A força resultante é
F_{\text{down}}=\omega - f
e a aceleração é
a_{\text{down}}=\frac{F_{\text{down}}}{m} =g\Bigl(1-\frac{f}{\omega}\Bigr).

Passo 5

Partindo do repouso no topo e caindo uma distância h com aceleração a_{\text{down}}, aplicamos novamente Torricelli:
v^2 = 0 + 2\,a_{\text{down}}\,h =2\,g\Bigl(1-\frac{f}{\omega}\Bigr)\,h.
Substituindo h do passo 3,
v^2 =2\,g\Bigl(1-\frac{f}{\omega}\Bigr) \cdot\frac{v_{0}^{2}}{2\,g\bigl(1+f/\omega\bigr)} =v_{0}^{2}\, \frac{1 - f/\omega}{1 + f/\omega} =v_{0}^{2}\, \frac{\omega - f}{\omega + f}.
Logo
v = v_{0}\sqrt{\frac{\omega - f}{\omega + f}}.

Resposta

(a) \displaystyle h=\frac{v_{0}^{2}}{2\,g\bigl(1+f/\omega\bigr)}
(b) \displaystyle v=v_{0}\sqrt{\frac{\omega - f}{\omega + f}}

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