(**) Para um sistema de coordenadas cartesiano ( x ; y ), uma partícula (1) encontrase inicialmente em repouso na origem e outra (2), de 0,5 \mathrm{~kg}, encontra-se na posição P=(6 ; 0) m, com o centro de massa do sistema na posição (2,4 ; 0) m. A velocidade do centro de massa é dada por V_{c m}=0,75 t^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3} ao longo do eixo x. Determine
(a) a massa da partícula na origem, R: 0,75 \mathrm{~kg}
(b) a aceleração do centro de massa.
\mathrm{R}: a=1,5 t \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3} ao longo do eixo x
(c) Admita que as forças são iguais para as duas partículas. Com base nesta informação, explicite a aceleração de cada uma delas.
\mathrm{R}: a_{1}=\frac{\left(m_{1}+m_{2}\right)}{2 m_{1}} a_{c m} e a_{2}=\frac{\left(m_{1}+m_{2}\right)}{2 m_{2}} a_{c m}

Passo 1

O enunciado descreve um sistema com duas partículas ao longo do eixo x: a partícula 1, de massa m_1, está na origem em repouso, e a partícula 2, de massa m_2=0{,}5 kg, está em P=(6,0). O centro de massa do sistema está em (2{,}4,0) m e sua velocidade é
V_{cm}=0{,}75\,t^2\quad(\mathrm{m/s})
Precisamos determinar
(a) m_1,
(b) a aceleração do CM,
(c) as acelerações a_1 e a_2 supondo F_1=F_2.

Passo 2

Usamos a definição da posição do CM ao longo de x:
x_{cm}=\frac{m_1\cdot 0 + m_2\cdot 6}{m_1+m_2}=2{,}4.
Substituindo m_2=0{,}5:
6\cdot 0{,}5=2{,}4\,(m_1+0{,}5) \quad\Longrightarrow\quad 3=2{,}4\,m_1+1{,}2 \quad\Longrightarrow\quad 2{,}4\,m_1=1{,}8 \quad\Longrightarrow\quad m_1=0{,}75\text{ kg}.

Passo 3

A aceleração do centro de massa é a derivada de V_{cm}:
a_{cm}=\frac{dV_{cm}}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(0{,}75\,t^2\bigr) =1{,}5\,t \quad(\mathrm{m/s}^2).

Passo 4

Como F_1=F_2=F e pelo segundo princípio total temos
F_1+F_2=(m_1+m_2)\,a_{cm} \quad\Longrightarrow\quad 2F=(m_1+m_2)\,a_{cm} \quad\Longrightarrow\quad F=\frac{(m_1+m_2)\,a_{cm}}{2}.
Então
a_1=\frac{F}{m_1}=\frac{m_1+m_2}{2\,m_1}\,a_{cm}, \qquad a_2=\frac{F}{m_2}=\frac{m_1+m_2}{2\,m_2}\,a_{cm}.

Resposta

(a) m_1=0{,}75 kg
(b) a_{cm}=1{,}5\,t m/s ^2
(c)
a_1=\frac{m_1+m_2}{2\,m_1}\,a_{cm}, \qquad a_2=\frac{m_1+m_2}{2\,m_2}\,a_{cm}.

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