Um pêndulo físico consiste em um disco sólido e uniforme, de raio
, suportado por um pivô localizado na borda do disco. Qual é o período do movimento harmônico simples executado pelo pêndulo?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o período do movimento harmônico simples do pêndulo físico formado por um disco sólido e uniforme de raio
, com pivô localizado na borda do disco. Informações dadas:
(ou seja,
).
O pivô fica na borda do disco (distância do pivô ao centro de massa é a própria ).
A massa do disco não é informada (veremos que isso não é problema).
A pergunta é: qual é o período do movimento (no regime de pequenas oscilações)?
O pivô fica na borda do disco (distância do pivô ao centro de massa é a própria
A massa
A pergunta é: qual é o período
Passo 2
Vamos escrever a equação de movimento para um pêndulo físico em pequenas oscilações. Considere um corpo qualquer em torno de um eixo fixo; a resultante do torque gravitacional tende a restaurar a posição de equilíbrio. Para pequenas oscilações o termo
pode ser aproximado por
. Escrevemos o torque restaurador (módulo) como
, onde:
é a massa do corpo,
é a aceleração da gravidade,
é a distância do pivô ao centro de massa,
é o deslocamento angular pequeno.
A equação de rotação é
A equação de rotação é
onde
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação e
é a aceleração angular. Isso é uma EDO do tipo harmônico simples com frequência angular
Portanto o período é
Aqui:
é o período (tempo de uma oscilação),
é momento de inércia em relação ao pivô,
é distância pivô–centro de massa.
Passo 3
Identificamos a distância
do pivô ao centro de massa do disco. Como o pivô está na borda, o centro do disco fica a uma distância igual ao raio:
Passo 4
Precisamos do momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pela borda e é perpendicular ao plano do disco. Primeiro lembramos (ou derivamos) o momento de inércia em relação ao centro do disco (eixo perpendicular ao plano do disco). Podemos obter
por integral: tomando densidade superficial
,
Calculando a integral:
então
Portanto o momento de inércia do disco em relação ao seu centro é
Passo 5
Agora usamos o Teorema dos Eixos Paralelos (ou Teorema de Steiner) para deslocar o eixo do centro até o pivô na borda. O teorema diz:
onde
é a distância entre os eixos. Aqui
, então
Passo 6
Substituímos
e
na fórmula do período:
Simplificando (cancelando
e uma potência de
):
Essa é a expressão analítica do período em função de
e
.
Passo 7
Agora calculamos numericamente. Convertemos
para metros:
Adotando
, calculamos o argumento da raiz:
A raiz quadrada é
Multiplicando por
:
Arredondando de forma conveniente (duas ou três casas significativas), obtemos
.
Passo 8
Resumo didático rápido para a prova: a fórmula-chave é
. Para discos com pivô na borda,
e
, o que elimina a massa
do resultado. Assim basta lembrar de usar
e aplicar Steiner.