Um pêndulo físico consiste em um disco sólido e uniforme, de raio R=15 \mathrm{~cm}, suportado por um pivô localizado na borda do disco. Qual é o período do movimento harmônico simples executado pelo pêndulo?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o período do movimento harmônico simples do pêndulo físico formado por um disco sólido e uniforme de raio R=15\\ \mathrm{cm}, com pivô localizado na borda do disco. Informações dadas:
R=15\\ \mathrm{cm} (ou seja, 0,15\\ \mathrm{m}).
O pivô fica na borda do disco (distância do pivô ao centro de massa é a própria R).
A massa m do disco não é informada (veremos que isso não é problema).
A pergunta é: qual é o período T do movimento (no regime de pequenas oscilações)?

Passo 2

Vamos escrever a equação de movimento para um pêndulo físico em pequenas oscilações. Considere um corpo qualquer em torno de um eixo fixo; a resultante do torque gravitacional tende a restaurar a posição de equilíbrio. Para pequenas oscilações o termo \sin\theta pode ser aproximado por \theta. Escrevemos o torque restaurador (módulo) como m g d \sin\theta, onde:
m é a massa do corpo,
g é a aceleração da gravidade,
d é a distância do pivô ao centro de massa,
\theta é o deslocamento angular pequeno.
A equação de rotação é
I\,\ddot{\theta} = -m g d \sin\theta \approx -m g d\,\theta,
onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação e \ddot{\theta} é a aceleração angular. Isso é uma EDO do tipo harmônico simples com frequência angular
\omega^2 = \frac{m g d}{I}.
Portanto o período é
T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m g d}}.
Aqui: T é o período (tempo de uma oscilação), I é momento de inércia em relação ao pivô, d é distância pivô–centro de massa.

Passo 3

Identificamos a distância d do pivô ao centro de massa do disco. Como o pivô está na borda, o centro do disco fica a uma distância igual ao raio:
d = R.

Passo 4

Precisamos do momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pela borda e é perpendicular ao plano do disco. Primeiro lembramos (ou derivamos) o momento de inércia em relação ao centro do disco (eixo perpendicular ao plano do disco). Podemos obter I_{\text{cm}} por integral: tomando densidade superficial \sigma = \dfrac{m}{\pi R^2},
I_{\text{cm}}=\int r^2\,dm = \int_{0}^{R} r^2\bigl(\sigma\cdot 2\pi r\,dr\bigr)=2\pi\sigma\int_{0}^{R} r^3\,dr.
Calculando a integral:
\int_{0}^{R} r^3\,dr=\frac{R^4}{4},
então
I_{\text{cm}}=2\pi\sigma\cdot\frac{R^4}{4}=2\pi\cdot\frac{m}{\pi R^2}\cdot\frac{R^4}{4}=\frac{1}{2}mR^2.
Portanto o momento de inércia do disco em relação ao seu centro é
I_{\text{cm}}=\tfrac{1}{2}mR^2.

Passo 5

Agora usamos o Teorema dos Eixos Paralelos (ou Teorema de Steiner) para deslocar o eixo do centro até o pivô na borda. O teorema diz:
I_{\text{pivô}}=I_{\text{cm}}+m d^2,ô
onde d é a distância entre os eixos. Aqui d=R, então
I_{\text{pivô}}=\tfrac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \tfrac{3}{2}mR^2.ô

Passo 6

Substituímos I=I_{\text{pivô}}=\tfrac{3}{2}mR^2ô e d=R na fórmula do período:
T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m g d}} = 2\pi\sqrt{\frac{\tfrac{3}{2}mR^2}{m g R}}.
Simplificando (cancelando m e uma potência de R):
T = 2\pi\sqrt{\frac{3R}{2g}}.
Essa é a expressão analítica do período em função de R e g.

Passo 7

Agora calculamos numericamente. Convertemos R para metros:
R=15\\ \mathrm{cm}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
Adotando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, calculamos o argumento da raiz:
\frac{3R}{2g}=\frac{3\cdot 0{,}15}{2\cdot 9{,}81}=\frac{0{,}45}{19{,}62}\approx 0{,}022935\ldots
A raiz quadrada é
\sqrt{0{,}022935\ldots}\approx 0{,}15145\ldots
Multiplicando por 2\pi:
T=2\pi\cdot 0{,}15145\ldots \approx 0{,}9518\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma conveniente (duas ou três casas significativas), obtemos T\approx 0{,}95\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Resumo didático rápido para a prova: a fórmula-chave é T=2\pi\sqrt{I/(m g d)}. Para discos com pivô na borda, I=\tfrac{3}{2}mR^2 e d=R, o que elimina a massa m do resultado. Assim basta lembrar de usar I_{\text{cm}}=\tfrac{1}{2}mR^2 e aplicar Steiner.

Resposta

T\approx 0{,}95\\ \mathrm{s}

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