Duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda viajam na mesma direção em uma corda. Para a onda \mathrm{A}, y_{m}=3,0 \mathrm{~mm} e \varphi=0. Para a onda \mathrm{B}, y_{m}=3,0 \mathrm{~mm} e \varphi=0.30^{\circ}. Determine a amplitude a e constante de fase da onda resultante.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a amplitude e a constante de fase da onda resultante obtida pela soma de duas ondas senoidais que viajam na mesma direção e têm o mesmo comprimento de onda. Dados fornecidos:
  • Para a onda A: y_{mA}=3,0\\ \mathrm{mm} e \varphi_A=0.
  • Para a onda B: y_{mB}=3,0\\ \mathrm{mm} e \varphi_B=0,30^\circ.
    Perguntas: calcular a amplitude a da onda resultante e a constante de fase \varphi da onda resultante.

Passo 2

Vou escrever as formas típicas das ondas (em qualquer ponto x e tempo t):
y_A(x,t)=y_{mA}\sin\big(kx-\omega t+\varphi_A\big)
y_B(x,t)=y_{mB}\sin\big(kx-\omega t+\varphi_B\big)
Aqui:
  • y_{mA},y_{mB} são as amplitudes (valores máximos) das ondas A e B.
  • k é o número de onda (relacionado ao comprimento de onda), \omega é a frequência angular.
  • \varphi_A,\varphi_B são as constantes de fase iniciais (em ângulos).
    A onda resultante é a soma:
y(x,t)=y_A+y_B=y_{mA}\sin(u+\varphi_A)+y_{mB}\sin(u+\varphi_B)
onde eu defini u=kx-\omega t para simplificar.

Passo 3

Vou explicar a técnica para somar duas senóides com mesma frequência: usamos a identidade trigonométrica
\sin \alpha+\sin \beta = 2\sin\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Aplicando com \alpha=u+\varphi_A e \beta=u+\varphi_B e supondo amplitudes iguais ou diferentes, a soma pode ser escrita na forma
y(x,t)=a\,\sin\big(u+\varphi\big),
onde a amplitude resultante a e a fase \varphi são dadas pelas fórmulas gerais (obtidas usando representação fasorial ou soma de cossenos/senos):
a=\sqrt{y_{mA}^{2}+y_{mB}^{2}+2\,y_{mA}y_{mB}\cos(\varphi_A-\varphi_B)}
\varphi=\arctan\!\left(\frac{y_{mA}\sin\varphi_A+y_{mB}\sin\varphi_B}{y_{mA}\cos\varphi_A+y_{mB}\cos\varphi_B}\right).
Explicando cada termo: o numerador da tangente soma as componentes senoidais projetadas no eixo imaginário; o denominador soma as projeções no eixo real — é a soma vetorial (fasorial) das amplitudes.

Passo 4

No nosso caso y_{mA}=y_{mB}=3,0\\ \mathrm{mm} e \varphi_A=0,\\ \varphi_B=0,30^\circ. Quando as amplitudes são iguais a expressão para a simplifica usando outra identidade:
a = 2\,y_{m}\cos\!\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right),
onde y_{m}=y_{mA}=y_{mB} e \Delta\varphi=\varphi_B-\varphi_A. A fase resultante fica no ponto médio das fases:
\varphi = \frac{\varphi_A+\varphi_B}{2}.
Isso pode ser visto diretamente aplicando \sin(u+\varphi_A)+\sin(u+\varphi_B)=2\sin\!\big(u+\tfrac{\varphi_A+\varphi_B}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{\varphi_B-\varphi_A}{2}\big).

Passo 5

Calcular \Delta\varphi e os valores numéricos:
\Delta\varphi=\varphi_B-\varphi_A=0,30^\circ.
Logo
\frac{\Delta\varphi}{2}=0,15^\circ.
A amplitude:
a=2\cdot 3,0\\ \mathrm{mm}\cdot\cos\!\big(0,15^\circ\big)=6,0\\ \mathrm{mm}\cdot\cos\!\big(0,15^\circ\big).
Para avaliar numericamente \cos(0,15^\circ) converto o ângulo para radianos (para quem calcula à mão ou em calculadora em modo rad):
0,15^\circ = 0,15\cdot\frac{\pi}{180}\\ \mathrm{rad}\approx 0,00261799\\ \mathrm{rad}.
Usando \cos(0,00261799)\approx 0,9999965728, obtemos
a \approx 6,0\times 0,9999965728\\ \mathrm{mm}\approx 5,99998\\ \mathrm{mm}.
A constante de fase resultante é o ponto médio:
\varphi=\frac{0+0,30^\circ}{2}=0,15^\circ.
Se eu quiser a fase em radianos:
\varphi\approx 0,00261799\\ \mathrm{rad}.

Passo 6

Interpretação rápida (pra te animar): como as duas ondas têm mesma amplitude e fases muito próximas, a interferência é praticamente totalmente construtiva — por isso a amplitude resultante fica praticamente 6,0\\ \mathrm{mm} e a fase é o meio entre as duas fases iniciais.

Resposta

a=5,99998\\ \mathrm{mm}\approx 6,00\\ \mathrm{mm}
\varphi=0,15^\circ\approx 0,00261799\\ \mathrm{rad}

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