Um pêndulo simples começa um movimento harmônico em t=0 partindo do ponto de equilibrio. Nota-se que, após um segundo, ele atinge pela primeira vez o deslocamento angular de um grau. Sabendo que o ângulo-amplitude desse movimento é dois graus, determine o periodo do movimento, em segundos.
Escolha uma opção:
a. 8
b. 4
c. 12
d. 4 pi
e. 3 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um pêndulo simples que começa seu movimento harmônico partindo do ponto de equilíbrio em t=0. Depois de 1 segundo, ele alcança um deslocamento angular de 1 grau. Sabemos também que a amplitude desse movimento é de 2 graus. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o período desse movimento, ou seja, quanto tempo leva para o pêndulo completar uma oscilação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação do movimento harmônico simples. A posição angular theta(t) em função do tempo t pode ser descrita por:
theta(t) = A sin(omega t + phi)
Aqui:
  • A é a amplitude do movimento (no nosso caso, 2 graus).
  • omega é a frequência angular.
  • phi é a fase inicial.
Como o pêndulo começa do ponto de equilíbrio em t=0, significa que ele parte de theta(0) = 0. Vamos usar isso para descobrir phi.

Passo 3

Substituindo t=0 na equação:
0 = 2 sin(0 + phi)
Para que essa igualdade seja verdadeira, o seno precisa ser zero. O seno é zero quando o argumento é múltiplo de pi, mas como estamos começando o movimento, a fase inicial phi é 0. Então, nossa equação fica simplificada para:
theta(t) = 2 sin(omega t)

Passo 4

Agora, sabemos que após 1 segundo, o deslocamento angular é de 1 grau. Vamos substituir esses valores na equação:
1 = 2 sin(omega cdot 1)
Simplificando:
sin(omega) = 12

Passo 5

Precisamos encontrar o valor de omega que satisfaz essa equação. Sabemos que:
sin(pi6) = 12
Portanto:
omega = pi6 rad/s

Passo 6

Agora, vamos relacionar a frequência angular omega com o período T do movimento. A relação entre eles é:
omega = 2piT
Substituindo omega = pi6:
pi6 = 2piT
Resolvendo para T:
T = 2pipi6 = 12 segundos

Resposta

A alternativa correta é a c. 12.

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