Um pêndulo simples começa um movimento harmônico em
partindo do ponto de equilibrio. Nota-se que, após um segundo, ele atinge pela primeira vez o deslocamento angular de um grau. Sabendo que o ângulo-amplitude desse movimento é dois graus, determine o periodo do movimento, em segundos.
Escolha uma opção:
a. 8
b. 4
c. 12
d.
e.
Escolha uma opção:
a. 8
b. 4
c. 12
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um pêndulo simples que começa seu movimento harmônico partindo do ponto de equilíbrio em
. Depois de 1 segundo, ele alcança um deslocamento angular de 1 grau. Sabemos também que a amplitude desse movimento é de 2 graus. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o período desse movimento, ou seja, quanto tempo leva para o pêndulo completar uma oscilação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação do movimento harmônico simples. A posição angular
em função do tempo
pode ser descrita por:
Aqui:
-
é a amplitude do movimento (no nosso caso, 2 graus). -
é a frequência angular. -
é a fase inicial.
Como o pêndulo começa do ponto de equilíbrio em
, significa que ele parte de
. Vamos usar isso para descobrir
.
Passo 3
Substituindo
na equação:
Para que essa igualdade seja verdadeira, o seno precisa ser zero. O seno é zero quando o argumento é múltiplo de
, mas como estamos começando o movimento, a fase inicial
é
. Então, nossa equação fica simplificada para:
Passo 4
Agora, sabemos que após 1 segundo, o deslocamento angular é de 1 grau. Vamos substituir esses valores na equação:
Simplificando:
Passo 5
Precisamos encontrar o valor de
que satisfaz essa equação. Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos relacionar a frequência angular
com o período
do movimento. A relação entre eles é:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Resposta
A alternativa correta é a c. 12.