Um pêndulo simples de comprimento
e peso com massa
é conectado a um suporte sem massa movendo-se verticalmente para baixo, com aceleração constante
. Determine a) as equações de movimento e b) o período para pequenas oscilações.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar certinho para a gente não se perder):
- Dados fornecidos:
- Comprimento do pêndulo:
. - Massa do corpo:
. - O suporte (pivô) do pêndulo move-se verticalmente para baixo com aceleração constante
. - A gravidade atua com aceleração
para baixo.
- Comprimento do pêndulo:
- O que o enunciado pede:
- (a) Determinar as equações de movimento do pêndulo (ou seja, a equação diferencial que rege o ângulo).
- (b) Determinar o período das pequenas oscilações.
- Observações que vamos usar (sem ainda resolver):
- Vamos usar como variável coordenada o ângulo
medido a partir da vertical (positivo para um lado arbitrário). - É esperado obter a equação geral (não linearizada) e depois a versão linearizada para pequenas oscilações.
- Vamos usar como variável coordenada o ângulo
Passo 2
Escolha do referencial e forças: por que simplifica?
- É muito prático trabalhar num referencial ligado ao suporte (ou seja, que se move com aceleração
para baixo). Nesse referencial o pivô fica fixo; o preço a pagar é a presença de uma força inercial (fictícia) sobre a massa, igual a vezes a aceleração do referencial, dirigida no sentido oposto da aceleração do referencial. - Como o suporte acelera para baixo com aceleração
, a força fictícia no referencial do suporte tem magnitude e aponta para cima (oposta à aceleração). - A força real da gravidade tem magnitude
e aponta para baixo. - Essas duas forças (gravidade para baixo e força fictícia para cima) se combinam como uma única força efetiva vertical de módulo
dirigida para baixo. Ou seja, no referencial não-inercial o efeito é o mesmo de reduzir a gravidade de para (Se for positiva e menor que , . Se a gravidade efetiva é zero; se a direção “para baixo” deixa de ser estável.)
Passo 3
Equação do movimento (não linearizada) usando força tangencial
- Considere a massa presa por um fio inextensível de comprimento
e fazendo um ângulo com a vertical. A componente tangencial da força efetiva que tende a restaurar para é , onde o sinal negativo indica que a força aponta no sentido de reduzir . - A aceleração tangencial ao longo do arco é
(porque deslocamento angular dá deslocamento linear e aceleração linear ). - Aplicando a segunda lei de Newton na direção tangencial (no referencial do suporte) temos:
- Cancelando
e isolando obtemos a equação de movimento completa (não linear): - Substituindo
escrevemos explicitamente:
Explicação dos termos (para ficar claro):
-
é o ângulo do fio com a vertical. -
é a segunda derivada temporal de , ou seja a aceleração angular. -
é o braço (comprimento do fio) que converte aceleração angular em aceleração tangencial. -
é a gravidade efetiva no referencial acelerado.
Passo 4
Linearização para pequenas oscilações (a aproximação usada na prova)
- Para pequenas oscilações temos
pequeno, então podemos usar a aproximação de primeiro termo da série de Taylor: Rápida intuição: , então o erro é da ordem de . - Substituindo
na equação não linear obtemos a equação linearizada: - Essa é a equação de um oscilador harmônico simples (OHS) com frequência angular ao quadrado igual a
.
Passo 5
Identificação da frequência e do período
- Para um OHS padrão
a frequência angular é e o período é . - Aqui temos
Portanto, assumindo (caso físico de oscilação em torno da vertical para baixo), - O período das pequenas oscilações fica:
Passo 6
Condições e interpretação física (importante para a prova)
- A expressão
vale enquanto a aproximação de pequenas oscilações for válida e enquanto . - Se
então : não há força restauradora para a posição vertical para baixo e pequenas oscilações em torno dessa posição não ocorrem (a frequência tende a zero). - Se
então : a posição vertical para baixo deixa de ser um mínimo de energia (fica instável) — o equilíbrio “para baixo” não é estável e a forma da solução muda (não teremos oscilações pequenas em torno da vertical para baixo). - Curiosamente, se o suporte acelerasse para cima com aceleração
, a mesma derivação levaria a e, consequentemente, a um período menor . Isso é útil como exemplo mental.
Resposta
(a) Equação de movimento não linear:
Equação linearizada para pequenas oscilações:
(b) Período das pequenas oscilações (para
):