Um pêndulo simples de comprimento b e peso com massa m é conectado a um suporte sem massa movendo-se verticalmente para baixo, com aceleração constante a. Determine a) as equações de movimento e b) o período para pequenas oscilações.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar certinho para a gente não se perder):
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento do pêndulo: b.
    • Massa do corpo: m.
    • O suporte (pivô) do pêndulo move-se verticalmente para baixo com aceleração constante a.
    • A gravidade atua com aceleração g para baixo.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar as equações de movimento do pêndulo (ou seja, a equação diferencial que rege o ângulo).
    • (b) Determinar o período das pequenas oscilações.
  • Observações que vamos usar (sem ainda resolver):
    • Vamos usar como variável coordenada o ângulo \theta(t) medido a partir da vertical (positivo para um lado arbitrário).
    • É esperado obter a equação geral (não linearizada) e depois a versão linearizada para pequenas oscilações.

Passo 2

Escolha do referencial e forças: por que simplifica?
  • É muito prático trabalhar num referencial ligado ao suporte (ou seja, que se move com aceleração a para baixo). Nesse referencial o pivô fica fixo; o preço a pagar é a presença de uma força inercial (fictícia) sobre a massa, igual a -m vezes a aceleração do referencial, dirigida no sentido oposto da aceleração do referencial.
  • Como o suporte acelera para baixo com aceleração a, a força fictícia no referencial do suporte tem magnitude m a e aponta para cima (oposta à aceleração).
  • A força real da gravidade tem magnitude m g e aponta para baixo.
  • Essas duas forças (gravidade para baixo e força fictícia para cima) se combinam como uma única força efetiva vertical de módulo m(g-a) dirigida para baixo. Ou seja, no referencial não-inercial o efeito é o mesmo de reduzir a gravidade de g para g_{\text{ef}} = g - a.(Se a for positiva e menor que g, g_{\text{ef}}>0. Se a=g a gravidade efetiva é zero; se a>g a direção “para baixo” deixa de ser estável.)

Passo 3

Equação do movimento (não linearizada) usando força tangencial
  • Considere a massa presa por um fio inextensível de comprimento b e fazendo um ângulo \theta(t) com a vertical. A componente tangencial da força efetiva que tende a restaurar para \theta=0 é -m g_{\text{ef}}\sin\theta, onde o sinal negativo indica que a força aponta no sentido de reduzir \theta.
  • A aceleração tangencial ao longo do arco é b\,\ddot{\theta} (porque deslocamento angular \theta dá deslocamento linear b\theta e aceleração linear b\ddot\theta).
  • Aplicando a segunda lei de Newton na direção tangencial (no referencial do suporte) temos: m b \,\ddot{\theta} = - m g_{\text{ef}} \sin\theta.
  • Cancelando m e isolando \ddot{\theta} obtemos a equação de movimento completa (não linear): \ddot{\theta} + \frac{g_{\text{ef}}}{b}\sin\theta = 0.
  • Substituindo g_{\text{ef}} = g - a escrevemos explicitamente: \ddot{\theta} + \frac{g - a}{b}\sin\theta = 0.
Explicação dos termos (para ficar claro):
  • \theta(t) é o ângulo do fio com a vertical.
  • \ddot{\theta} é a segunda derivada temporal de \theta, ou seja a aceleração angular.
  • b é o braço (comprimento do fio) que converte aceleração angular em aceleração tangencial.
  • (g-a) é a gravidade efetiva no referencial acelerado.

Passo 4

Linearização para pequenas oscilações (a aproximação usada na prova)
  • Para pequenas oscilações temos \theta pequeno, então podemos usar a aproximação de primeiro termo da série de Taylor: \sin\theta \approx \theta\quad\text{quando }\theta\text{ é pequeno (em rad)}.éRápida intuição: \sin\theta = \theta - \theta^3/6+\cdots, então o erro é da ordem de \theta^3.
  • Substituindo \sin\theta\approx\theta na equação não linear obtemos a equação linearizada: \ddot{\theta} + \frac{g - a}{b}\,\theta = 0.
  • Essa é a equação de um oscilador harmônico simples (OHS) com frequência angular ao quadrado igual a (g-a)/b.

Passo 5

Identificação da frequência e do período
  • Para um OHS padrão \ddot{x} + \omega^{2} x = 0 a frequência angular é \omega e o período é T = \dfrac{2\pi}{\omega}.
  • Aqui temos \omega^{2} = \frac{g - a}{b}.Portanto, assumindo g-a>0 (caso físico de oscilação em torno da vertical para baixo), \omega = \sqrt{\frac{g - a}{b}}.
  • O período das pequenas oscilações fica: T = 2\pi\sqrt{\frac{b}{\,g - a\,}}.

Passo 6

Condições e interpretação física (importante para a prova)
  • A expressão T = 2\pi\sqrt{b/(g-a)} vale enquanto a aproximação de pequenas oscilações for válida e enquanto g-a>0.
  • Se a=g então g_{\text{ef}}=0: não há força restauradora para a posição vertical para baixo e pequenas oscilações em torno dessa posição não ocorrem (a frequência tende a zero).
  • Se a>g então g_{\text{ef}}<0: a posição vertical para baixo deixa de ser um mínimo de energia (fica instável) — o equilíbrio “para baixo” não é estável e a forma da solução muda (não teremos oscilações pequenas em torno da vertical para baixo).
  • Curiosamente, se o suporte acelerasse para cima com aceleração a, a mesma derivação levaria a g_{\text{ef}}=g+a e, consequentemente, a um período menor T=2\pi\sqrt{b/(g+a)}. Isso é útil como exemplo mental.

Resposta

(a) Equação de movimento não linear:
\ddot{\theta} + \frac{g - a}{b}\sin\theta = 0.
Equação linearizada para pequenas oscilações:
\ddot{\theta} + \frac{g - a}{b}\,\theta = 0.
(b) Período das pequenas oscilações (para g-a>0):
T = 2\pi\sqrt{\frac{b}{\,g - a\,}}.

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