Considere um pêndulo cicloidal de Huyghens, consistindo em uma partícula que oscila num plano vertical ao longo de um arco de ciclóide com as seguintes equações paramétricas: x=R \theta+R \operatorname{sen} \theta e y=-R \operatorname{sen} \theta. Encontre a Lagrangiana desse sistema e as equações de movimento usando o formalismo de Lagrange.

Passo 1

O enunciado fornece as equações paramétricas do arco ciclóide por onde a partícula se move:
x = R\theta + R\operatorname{sen}\theta,\qquad y = -R\operatorname{sen}\theta,
onde R é constante e \theta=\theta(t) é o parâmetro que varia no tempo. A massa da partícula é m e há o campo gravitacional uniforme com aceleração g apontando no sentido decrescente de y.
O que o problema pede:
  • Encontrar a Lagrangiana do sistema L(\theta,\dot\theta,t)=T-V, com T energia cinética e V energia potencial.
  • Obter as equações de movimento a partir das equações de Lagrange (Euler–Lagrange) para a coordenada generalizada \theta.
Informações relevantes dadas:
  • As coordenadas cartesianas x(t) e y(t) são funções de \theta(t) dadas acima (peguei estas expressões do enunciado).
  • Parâmetros constantes: R, m, g.
  • A única coordenada generalizada independente é \theta(t) (grau de liberdade 1).

Passo 2

Vamos construir a energia cinética T. Regra: a energia cinética de uma partícula é
T=\tfrac{1}{2}m\big(\dot x^2+\dot y^2\big),
onde \dot x=\dfrac{dx}{dt} e \dot y=\dfrac{dy}{dt}. Aqui x e y dependem de \theta(t), então usamos a regra da cadeia:
\dot x=\frac{dx}{d\theta}\,\dot\theta,\qquad \dot y=\frac{dy}{d\theta}\,\dot\theta.
Vou calcular \dfrac{dx}{d\theta} e \dfrac{dy}{d\theta} passo a passo (derivadas em relação a \theta).

Passo 3

Calcular as derivadas em relação a \theta:
\frac{dx}{d\theta}=R + R\cos\theta = R(1+\cos\theta),
\frac{dy}{d\theta}=-R\cos\theta.
Portanto, as velocidades em função de \dot\theta são
\dot x = R(1+\cos\theta)\,\dot\theta, \qquad \dot y = -R\cos\theta\,\dot\theta.

Passo 4

Calcular \dot x^2+\dot y^2. Substituindo:
\dot x^2 = R^2(1+\cos\theta)^2\dot\theta^2, \qquad \dot y^2 = R^2\cos^2\theta\,\dot\theta^2.
Somando:
\dot x^2+\dot y^2 =R^2\big[(1+\cos\theta)^2+\cos^2\theta\big]\dot\theta^2.
Expandindo o termo entre colchetes:
(1+\cos\theta)^2+\cos^2\theta =1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\cos^2\theta =1+2\cos\theta+2\cos^2\theta.
Definindo
A(\theta)\equiv 1+2\cos\theta+2\cos^2\theta,
temos
\dot x^2+\dot y^2=R^2 A(\theta)\,\dot\theta^2.
Logo a energia cinética é
T=\tfrac{1}{2}mR^2 A(\theta)\,\dot\theta^2.

Passo 5

Agora a energia potencial V. Tomando a energia potencial gravitacional como V=m g y (pelo enunciado y=-R\operatorname{sen}\theta, peguei essa expressão do enunciado), obtemos
V = m g y = -m g R\operatorname{sen}\theta.
Obs.: pode-se adicionar uma constante a V sem modificar as equações de movimento; aqui uso a forma direta acima.

Passo 6

Construir a Lagrangiana L=T-V:
L(\theta,\dot\theta)=\tfrac{1}{2}mR^2 A(\theta)\,\dot\theta^2 + m g R\operatorname{sen}\theta,
onde
A(\theta)=1+2\cos\theta+2\cos^2\theta.
Expliquei o que é cada termo: \theta é a coordenada generalizada, \dot\theta sua derivada temporal, m,R,g constantes. A Lagrangiana foi obtida substituindo T e V.

Passo 7

Aplicar a equação de Euler–Lagrange para a coordenada \theta:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\right)-\frac{\partial L}{\partial\theta}=0.
Vou calcular separadamente \dfrac{\partial L}{\partial\dot\theta}, \dfrac{d}{dt} desse termo, e \dfrac{\partial L}{\partial\theta}.

Passo 8

Cálculo de \dfrac{\partial L}{\partial\dot\theta}:
\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}=mR^2 A(\theta)\,\dot\theta.
Derivando temporalmente:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\right) = mR^2\big(A(\theta)\,\ddot\theta + A'(\theta)\,\dot\theta^2\big),
onde A'(\theta)=\dfrac{dA}{d\theta}.
Cálculo de \dfrac{\partial L}{\partial\theta}:
\frac{\partial L}{\partial\theta} =\tfrac{1}{2}mR^2 A'(\theta)\,\dot\theta^2 + m g R\cos\theta,
pois \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sen}\theta=\cos\theta.

Passo 9

Calcular explicitamente A'(\theta). Lembrando A(\theta)=1+2\cos\theta+2\cos^2\theta,
A'(\theta)=-2\operatorname{sen}\theta -4\cos\theta\operatorname{sen}\theta = -2\operatorname{sen}\theta\big(1+2\cos\theta\big).
Substituindo nas expressões anteriores e usando a equação de Euler–Lagrange:
mR^2\big(A\,\ddot\theta + A'\,\dot\theta^2\big) - \Big(\tfrac{1}{2}mR^2 A'\,\dot\theta^2 + m g R\cos\theta\Big)=0.
Reorganizando os termos com A':
mR^2\Big(A\,\ddot\theta + \tfrac{1}{2}A'\,\dot\theta^2\Big) - m g R\cos\theta=0.

Passo 10

Dividindo por mR (assumindo m\neq0 e R\neq0) e substituindo A e A' na forma factorizada, obtemos a equação de movimento mais explícita:
R\Big(1+2\cos\theta+2\cos^2\theta\Big)\ddot\theta - R\operatorname{sen}\theta\big(1+2\cos\theta\big)\dot\theta^2 - g\cos\theta = 0.
Ou, de forma rearranjada,
\Big(1+2\cos\theta+2\cos^2\theta\Big)\ddot\theta - \operatorname{sen}\theta\big(1+2\cos\theta\big)\dot\theta^2 = \frac{g}{R}\cos\theta.

Resposta

Lagrangiana:
L(\theta,\dot\theta)=\tfrac{1}{2}mR^2\big(1+2\cos\theta+2\cos^2\theta\big)\dot\theta^2 + m g R\operatorname{sen}\theta.
Equação de movimento (equação de Euler–Lagrange):
R\big(1+2\cos\theta+2\cos^2\theta\big)\ddot\theta - R\operatorname{sen}\theta\big(1+2\cos\theta\big)\dot\theta^2 - g\cos\theta = 0.

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