Considere um pêndulo cicloidal de Huyghens, consistindo em uma partícula que oscila num plano vertical ao longo de um arco de ciclóide com as seguintes equações paramétricas:
e
. Encontre a Lagrangiana desse sistema e as equações de movimento usando o formalismo de Lagrange.
Passo 1
O enunciado fornece as equações paramétricas do arco ciclóide por onde a partícula se move:
onde
é constante e
é o parâmetro que varia no tempo. A massa da partícula é
e há o campo gravitacional uniforme com aceleração
apontando no sentido decrescente de
.
O que o problema pede:
- Encontrar a Lagrangiana do sistema
, com energia cinética e energia potencial. - Obter as equações de movimento a partir das equações de Lagrange (Euler–Lagrange) para a coordenada generalizada
.
Informações relevantes dadas:
- As coordenadas cartesianas
e são funções de dadas acima (peguei estas expressões do enunciado). - Parâmetros constantes:
, , . - A única coordenada generalizada independente é
(grau de liberdade 1).
Passo 2
Vamos construir a energia cinética
. Regra: a energia cinética de uma partícula é
onde
e
. Aqui
e
dependem de
, então usamos a regra da cadeia:
Vou calcular
e
passo a passo (derivadas em relação a
).
Passo 3
Calcular as derivadas em relação a
:
Portanto, as velocidades em função de
são
Passo 4
Calcular
. Substituindo:
Somando:
Expandindo o termo entre colchetes:
Definindo
temos
Logo a energia cinética é
Passo 5
Agora a energia potencial
. Tomando a energia potencial gravitacional como
(pelo enunciado
, peguei essa expressão do enunciado), obtemos
Obs.: pode-se adicionar uma constante a
sem modificar as equações de movimento; aqui uso a forma direta acima.
Passo 6
Construir a Lagrangiana
:
onde
Expliquei o que é cada termo:
é a coordenada generalizada,
sua derivada temporal,
constantes. A Lagrangiana foi obtida substituindo
e
.
Passo 7
Aplicar a equação de Euler–Lagrange para a coordenada
:
Vou calcular separadamente
,
desse termo, e
.
Passo 8
Cálculo de
:
Derivando temporalmente:
onde
.
Cálculo de
:
pois
.
Passo 9
Calcular explicitamente
. Lembrando
,
Substituindo nas expressões anteriores e usando a equação de Euler–Lagrange:
Reorganizando os termos com
:
Passo 10
Dividindo por
(assumindo
e
) e substituindo
e
na forma factorizada, obtemos a equação de movimento mais explícita:
Ou, de forma rearranjada,
Resposta
Lagrangiana:
Equação de movimento (equação de Euler–Lagrange):