Considere uma partícula movendo-se num campo de força constante partindo do repouso de algum ponto
até um ponto mais inferior
. Encontre o caminho que permite que a partícula se desloque de A para B no menor intervalo de tempo possível.
Passo 1
O problema pede: encontrar o caminho (curva) que leva uma partícula, partindo do repouso em
e chegando em
(com
), de modo que o tempo total de viagem seja mínimo, quando a partícula está sujeita a um campo de força constante.
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo retirado do enunciado):
- Partícula parte do repouso em
. - Chega em
com (ou seja, B é mais baixo). - O campo de força é constante. Vou alinhar os eixos de modo que a força seja vertical para baixo (ou seja, como gravidade uniforme). Isso é sempre possível fazendo uma rotação do sistema de coordenadas; a forma do caminho é a mesma, apenas rotacionada. Denoto a aceleração constante por
(no caso usual é a gravidade). - Objetivo: minimizar o tempo de viagem
entre e .
Passo 2
Energia e velocidade: por conservação da energia mecânica (força conservativa com potencial que depende apenas da altura), a perda de energia potencial transforma-se em energia cinética. Vou explicar isso devagar.
- Energia potencial: se
é a coordenada vertical para cima, o potencial gravitacional é . - Energia cinética:
. - Partindo do repouso em
, a energia total inicial é . - Em um ponto genérico da trajetória com altura
, tem-se
Isolando
,
Comentário: aqui
é a queda vertical acumulada desde
até o ponto considerado. Se a força não fosse vertical, o mesmo raciocínio vale com
sendo a componente de
na direção que produz variação de potencial — como disse, pode-se sempre escolher eixos apropriados.
Passo 3
Expressar o tempo total como funcional da curva
.
- Um pequeno elemento de arco é
, onde . - O tempo para percorrer esse pedacinho é
. - Substituindo
da conservação de energia, obtemos a expressão para o tempo total:
Nossa tarefa é encontrar a função
que minimiza esse funcional
com as condições de contorno
e
.
Passo 4
Aplicando cálculo das variações (intuição e técnica).
- No cálculo das variações, uma função
que minimiza satisfaz a equação de Euler–Lagrange para o Lagrangiano
- Observação importante (que simplifica muito o trabalho):
não depende explicitamente de . Nesses casos existe a identidade de Beltrami (uma quantidade constante ao longo da curva), que é mais fácil de usar que a forma completa de Euler–Lagrange. A identidade de Beltrami diz:
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 5
Calcular a identidade de Beltrami e simplificar.
Primeiro calcule
. Temos
Agora formamos
:
Colocando em denominador comum dentro do fator
:
Pela identidade de Beltrami isso é constante, então temos a equação simples
onde
é uma constante de integração que será ajustada pelos contornos.
Multiplicando e rearranjando:
Elevando ao quadrado:
Passo 6
Interpretar geometricamente e parametrizar pela inclinação.
É prático introduzir o ângulo
entre a tangente da curva e o eixo horizontal, de modo que
Substituindo na relação obtida em Passo 5:
Tomando a raiz (e lembrando que
para os ângulos relevantes),
Agora expressamos
em função de
:
Diferenciando em relação a
(vai ser útil para achar
):
Mas também
, então
Passo 7
Integrar para obter as paramétricas da curva (a forma da curva).
Integramos
para obter
. Introduzimos a constante
para simplificar as expressões. Observe que então
. Temos
Integrando:
Também podemos reescrever
usando
:
Agora faça a substituição
. Usando
,
e
, obtemos
Por fim, fazendo um deslocamento de parâmetro e de
(redefinindo constantes) podemos escrever a forma clássica do cicloide com a cuspide em
para
. Tomando
e ajustando a origem horizontal para que em
tenhamos
,
, chegamos à forma padrão:
com
variando de
até um valor
tal que o ponto correspondente seja
.
Passo 8
Condições para ajustar constantes aos pontos
e
e conclusão final.
- Colocando
obtemos , (cuspide/partida em ). - Para o ponto
existe um tal que
Essas duas equações permitem determinar os valores de
e
(em geral por métodos numéricos ou eliminação) de modo que a curva passe exatamente por
. A curva obtida é um arco de cicloide (roda de raio
que rola sem deslizar), que é a solução do problema da braquistócrona (tempo mínimo) para campo de força constante.
Intuitivamente: a partícula desce mais primeiro (curva aponta para baixo e tem trechos inclinados), ganhando velocidade que compensa o trajeto mais longo em comprimento, o que reduz o tempo total em comparação à reta ou a outros arcos.
Força e ânimo: dá para resolver isso passo a passo na prova — o truque é escrever o tempo integral, usar Beltrami (pois
não depende de
) e parametrizar pela inclinação; é um clássico, e o resultado final é a cicloide. Você já tem a fórmula pronta para aplicar aos pontos
e
.
Resposta
com
e
variando de
até
tais que