Considere uma partícula movendo-se num campo de força constante partindo do repouso de algum ponto \mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) até um ponto mais inferior \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right). Encontre o caminho que permite que a partícula se desloque de A para B no menor intervalo de tempo possível.

Passo 1

O problema pede: encontrar o caminho (curva) que leva uma partícula, partindo do repouso em A(x_{1},y_{1}) e chegando em B(x_{2},y_{2}) (com y_{2}<y_{1}), de modo que o tempo total de viagem seja mínimo, quando a partícula está sujeita a um campo de força constante.
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo retirado do enunciado):
  • Partícula parte do repouso em A(x_{1},y_{1}).
  • Chega em B(x_{2},y_{2}) com y_{2}<y_{1} (ou seja, B é mais baixo).
  • O campo de força é constante. Vou alinhar os eixos de modo que a força seja vertical para baixo (ou seja, como gravidade uniforme). Isso é sempre possível fazendo uma rotação do sistema de coordenadas; a forma do caminho é a mesma, apenas rotacionada. Denoto a aceleração constante por g (no caso usual g é a gravidade).
  • Objetivo: minimizar o tempo de viagem T entre A e B.

Passo 2

Energia e velocidade: por conservação da energia mecânica (força conservativa com potencial que depende apenas da altura), a perda de energia potencial transforma-se em energia cinética. Vou explicar isso devagar.
  • Energia potencial: se y é a coordenada vertical para cima, o potencial gravitacional é U=m g y.
  • Energia cinética: K=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Partindo do repouso em A, a energia total inicial é E= m g y_{1}.
  • Em um ponto genérico da trajetória com altura y, tem-se
\tfrac{1}{2} m v^{2} + m g y = m g y_{1}.
Isolando v,
v=\sqrt{2 g (y_{1}-y)}.
Comentário: aqui y_{1}-y é a queda vertical acumulada desde A até o ponto considerado. Se a força não fosse vertical, o mesmo raciocínio vale com g sendo a componente de F/m na direção que produz variação de potencial — como disse, pode-se sempre escolher eixos apropriados.

Passo 3

Expressar o tempo total como funcional da curva y(x).
  • Um pequeno elemento de arco é ds=\sqrt{1+y'(x)^{2}}\,dx, onde y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • O tempo para percorrer esse pedacinho é dt=\dfrac{ds}{v}=\dfrac{\sqrt{1+y'^{2}}}{v}\,dx.
  • Substituindo v da conservação de energia, obtemos a expressão para o tempo total:
T[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\sqrt{1+y'(x)^{2}}}{\sqrt{2 g \bigl(y_{1}-y(x)\bigr)}}\,dx.
Nossa tarefa é encontrar a função y(x) que minimiza esse funcional T[y] com as condições de contorno y(x_{1})=y_{1} e y(x_{2})=y_{2}.

Passo 4

Aplicando cálculo das variações (intuição e técnica).
  • No cálculo das variações, uma função y(x) que minimiza T satisfaz a equação de Euler–Lagrange para o Lagrangiano
L\bigl(y,y'\bigr)=\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2g(y_{1}-y)}}.
  • Observação importante (que simplifica muito o trabalho): L não depende explicitamente de x. Nesses casos existe a identidade de Beltrami (uma quantidade constante ao longo da curva), que é mais fácil de usar que a forma completa de Euler–Lagrange. A identidade de Beltrami diz:
L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = \text{conste} = C.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 5

Calcular a identidade de Beltrami e simplificar.
Primeiro calcule \partial L/\partial y'. Temos
\frac{\partial L}{\partial y'} = \frac{1}{\sqrt{2g(y_{1}-y)}}\cdot\frac{y'}{\sqrt{1+y'^{2}}}.
Agora formamos L - y'\partial L/\partial y':
L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = \frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2g(y_{1}-y)}} - \frac{y'^{2}}{\sqrt{2g(y_{1}-y)}\sqrt{1+y'^{2}}}.
Colocando em denominador comum dentro do fator \dfrac{1}{\sqrt{2g(y_{1}-y)}}:
L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = \frac{1}{\sqrt{2g(y_{1}-y)}}\cdot \frac{1+y'^{2}-y'^{2}}{\sqrt{1+y'^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2g(y_{1}-y)}\sqrt{1+y'^{2}}}.
Pela identidade de Beltrami isso é constante, então temos a equação simples
\frac{1}{\sqrt{2g(y_{1}-y)}\sqrt{1+y'^{2}}}=C,
onde C>0 é uma constante de integração que será ajustada pelos contornos.
Multiplicando e rearranjando:
\sqrt{1+y'^{2}}=\frac{1}{C}\sqrt{2g(y_{1}-y)}.
Elevando ao quadrado:
1+y'^{2}=\frac{2g(y_{1}-y)}{C^{2}}.

Passo 6

Interpretar geometricamente e parametrizar pela inclinação.
É prático introduzir o ângulo \varphi(x) entre a tangente da curva e o eixo horizontal, de modo que
y'=\tan\varphi,\qquad \sqrt{1+y'^{2}}=\operatorname{sec}\varphi.
Substituindo na relação obtida em Passo 5:
\operatorname{sec}^{2}\varphi=\frac{2g(y_{1}-y)}{C^{2}}.
Tomando a raiz (e lembrando que \operatorname{sec}\varphi>0 para os ângulos relevantes),
\operatorname{sec}\varphi=\frac{\sqrt{2g(y_{1}-y)}}{C}, \quad\text{o que é equivalente a}\quad \cos\varphi = C\sqrt{2g(y_{1}-y)}.é
Agora expressamos y em função de \varphi:
y = y_{1} - \frac{\cos^{2}\varphi}{2g C^{2}}.
Diferenciando em relação a \varphi (vai ser útil para achar x(\varphi)):
\frac{dy}{d\varphi} = \frac{\sin\varphi\cos\varphi}{g C^{2}}.
Mas também dy/dx=\tan\varphi, então
\frac{dx}{d\varphi}=\frac{dy/d\varphi}{dy/dx} = \frac{\dfrac{\sin\varphi\cos\varphi}{g C^{2}}}{\tan\varphi} = \frac{\cos^{2}\varphi}{g C^{2}}.

Passo 7

Integrar para obter as paramétricas da curva (a forma da curva).
Integramos dx/d\varphi para obter x(\varphi). Introduzimos a constante
a := \frac{1}{2g C^{2}}>0
para simplificar as expressões. Observe que então \dfrac{1}{gC^{2}}=2a. Temos
\frac{dx}{d\varphi} = \frac{\cos^{2}\varphi}{g C^{2}} = 2a\cos^{2}\varphi.
Integrando:
x = x_{0} + 2a\int \cos^{2}\varphi\,d\varphi = x_{0} + 2a\left(\frac{\varphi}{2}+\frac{\sin 2\varphi}{4}\right) = x_{0} + a\bigl(\varphi + \sin\varphi\cos\varphi\bigr).
Também podemos reescrever y usando a:
y = y_{1} - a\cos^{2}\varphi.
Agora faça a substituição \theta=2\varphi. Usando \varphi=\theta/2, \sin\varphi\cos\varphi=\tfrac{1}{2}\sin\theta e \cos^{2}\varphi=\tfrac{1}{2}(1+\cos\theta), obtemos
x = x_{0} + \frac{a}{2}\bigl(\theta + \sin\theta\bigr), \qquad y = y_{1} - \frac{a}{2}\bigl(1+\cos\theta\bigr).
Por fim, fazendo um deslocamento de parâmetro e de x_{0} (redefinindo constantes) podemos escrever a forma clássica do cicloide com a cuspide em A para \theta=0. Tomando R:=\tfrac{a}{2}>0 e ajustando a origem horizontal para que em \theta=0 tenhamos x=x_{1}, y=y_{1}, chegamos à forma padrão:
x(\theta)=x_{1}+R\bigl(\theta-\sin\theta\bigr), \qquad y(\theta)=y_{1}-R\bigl(1-\cos\theta\bigr),
com \theta variando de 0 até um valor \theta_{B}>0 tal que o ponto correspondente seja B.

Passo 8

Condições para ajustar constantes aos pontos A e B e conclusão final.
  • Colocando \theta=0 obtemos x(0)=x_{1}, y(0)=y_{1} (cuspide/partida em A).
  • Para o ponto B existe um \theta_{B}>0 tal que
x_{2}=x_{1}+R\bigl(\theta_{B}-\sin\theta_{B}\bigr), \qquad y_{2}=y_{1}-R\bigl(1-\cos\theta_{B}\bigr).
Essas duas equações permitem determinar os valores de R e \theta_{B} (em geral por métodos numéricos ou eliminação) de modo que a curva passe exatamente por B. A curva obtida é um arco de cicloide (roda de raio R que rola sem deslizar), que é a solução do problema da braquistócrona (tempo mínimo) para campo de força constante.
Intuitivamente: a partícula desce mais primeiro (curva aponta para baixo e tem trechos inclinados), ganhando velocidade que compensa o trajeto mais longo em comprimento, o que reduz o tempo total em comparação à reta ou a outros arcos.
Força e ânimo: dá para resolver isso passo a passo na prova — o truque é escrever o tempo integral, usar Beltrami (pois L não depende de x) e parametrizar pela inclinação; é um clássico, e o resultado final é a cicloide. Você já tem a fórmula pronta para aplicar aos pontos A e B.

Resposta

x(\theta)=x_{1}+R\bigl(\theta-\sin\theta\bigr),\qquad y(\theta)=y_{1}-R\bigl(1-\cos\theta\bigr),
com R>0 e \theta variando de 0 até \theta_{B} tais que
x_{2}=x_{1}+R\bigl(\theta_{B}-\sin\theta_{B}\bigr), \qquad y_{2}=y_{1}-R\bigl(1-\cos\theta_{B}\bigr).

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