Um pêndulo simples de comprimento
e massa
, é colocado para oscilar com pequenas amplitudes. O período mensurado foi de 1s. Considere
. Determine: a) O comprimento
do pêndulo. b) Qual seria o período deste pêndulo quando colocado a oscilar na superfície da Lua, onde
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
Perguntas:
a) Determinar o comprimento do pêndulo que produz o período
na Terra.
b) Determinar o período desse mesmo pêndulo quando colocado para oscilar na superfície da Lua (usar ).
a) Determinar o comprimento
b) Determinar o período desse mesmo pêndulo quando colocado para oscilar na superfície da Lua (usar
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para pequenas oscilações angulares o pêndulo simples executa um movimento harmônico simples aproximado. A equação linearizada de movimento é
Para pequenas oscilações angulares o pêndulo simples executa um movimento harmônico simples aproximado. A equação linearizada de movimento é
onde
é o ângulo pequeno medido em radianos,
é a segunda derivada temporal,
é a aceleração da gravidade local e
é o comprimento do fio. A solução desta equação é uma oscilação periódica com período
Explicando as variáveis:
-
é o período (tempo de uma oscilação completa), em segundos. -
é o comprimento do pêndulo, em metros. -
é a aceleração da gravidade no local, em .
Observação importante (útil para prova): o período
não depende da massa
do pêndulo (por isso o dado
é irrelevante aqui) e a fórmula só é válida para pequenas amplitudes (quando podemos aproximar
).
Passo 3
Isolando
a partir da fórmula do período (passo algébrico detalhado):
Começamos com
Começamos com
Dividindo ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando por
:
Esta é a expressão que vamos usar para calcular
substituindo
e
.
Passo 4
Cálculo numérico de
(detalhando cada número):
Calculemos o denominador :
Calculemos o denominador
Agora substituímos na fórmula
Fazendo a divisão:
Convertendo para centímetros (mais intuitivo):
(Arredondarei depois conforme necessidade; por enquanto mantive precisão suficiente.)
Passo 5
Cálculo do período na Lua usando o mesmo
:
Usamos novamente
Usamos novamente
agora com
encontrado e
.
Primeiro calculamos a razão:
Tirando a raiz quadrada:
Multiplicando por
:
Arredondando de forma significativa,
.
Verificação rápida (truque prático que pode salvar tempo na prova): como
foi determinado para que
, podemos usar a relação
que dá o mesmo resultado e é mais rápido quando
é conhecido.
Passo 6
Comentários finais e incentivo rápido:
- Resumo prático: a massa não entra na fórmula, e para pequenas amplitudes
depende só de e de . - Se na prova te der
e , isola com . Se te pedirem em outro local com , usa ou o atalho .
Força aí — deu trabalho, mas você já aprendeu o truque que resolve essas questões rapidinho!