Um pêndulo simples de comprimento L e massa m=100 g, é colocado para oscilar com pequenas amplitudes. O período mensurado foi de 1s. Considere g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine: a) O comprimento L do pêndulo. b) Qual seria o período deste pêndulo quando colocado a oscilar na superfície da Lua, onde g=1,63 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
m = 100\\ \mathrm{g} \quad(\text{dado, mas não será necessário}),ãáá
T_{\text{medido}} = 1\\ \mathrm{s},
g_{\text{Terra}} = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
g_{\text{Lua}} = 1{,}63\\ \mathrm{m/s^2}.
Perguntas:
a) Determinar o comprimento L do pêndulo que produz o período T=1\\ \mathrm{s} na Terra.
b) Determinar o período desse mesmo pêndulo quando colocado para oscilar na superfície da Lua (usar g_{\text{Lua}}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para pequenas oscilações angulares o pêndulo simples executa um movimento harmônico simples aproximado. A equação linearizada de movimento é
\theta'' + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
onde \theta(t) é o ângulo pequeno medido em radianos, \theta'' é a segunda derivada temporal, g é a aceleração da gravidade local e L é o comprimento do fio. A solução desta equação é uma oscilação periódica com período
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Explicando as variáveis:
  • T é o período (tempo de uma oscilação completa), em segundos.
  • L é o comprimento do pêndulo, em metros.
  • g é a aceleração da gravidade no local, em \mathrm{m/s^2}.
Observação importante (útil para prova): o período T não depende da massa m do pêndulo (por isso o dado m é irrelevante aqui) e a fórmula só é válida para pequenas amplitudes (quando podemos aproximar \sin\theta\approx\theta).

Passo 3

Isolando L a partir da fórmula do período (passo algébrico detalhado):
Começamos com
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Dividindo ambos os lados por 2\pi:
\frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{L}{g}}.
Elevando ao quadrado ambos os lados:
\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{L}{g}.
Multiplicando por g:
L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{g\,T^2}{4\pi^2}.
Esta é a expressão que vamos usar para calcular L substituindo T=1\\ \mathrm{s} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Cálculo numérico de L (detalhando cada número):
Calculemos o denominador 4\pi^2:
\pi^2 \approx 9{,}8696044 \quad\Rightarrow\quad 4\pi^2 \approx 39{,}4784176.
Agora substituímos na fórmula
L = \frac{g\,T^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81\times 1^2}{39{,}4784176}.
Fazendo a divisão:
L \approx 0{,}248537\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros (mais intuitivo):
L \approx 24{,}85\\ \mathrm{cm}.
(Arredondarei depois conforme necessidade; por enquanto mantive precisão suficiente.)

Passo 5

Cálculo do período na Lua usando o mesmo L:
Usamos novamente
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
agora com L encontrado e g = g_{\text{Lua}} = 1{,}63\\ \mathrm{m/s^2}.
Primeiro calculamos a razão:
\frac{L}{g_{\text{Lua}}} = \frac{0{,}248537}{1{,}63} \approx 0{,}152507.
Tirando a raiz quadrada:
\sqrt{\frac{L}{g_{\text{Lua}}}} \approx \sqrt{0{,}152507} \approx 0{,}390581.
Multiplicando por 2\pi:
T_{\text{Lua}} = 2\pi \times 0{,}390581 \approx 2{,}4538\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma significativa, T_{\text{Lua}}\approx 2{,}45\\ \mathrm{s}.
Verificação rápida (truque prático que pode salvar tempo na prova): como L foi determinado para que T_{\text{Terra}}=1\\ \mathrm{s}, podemos usar a relação
T_{\text{Lua}} = T_{\text{Terra}}\sqrt{\frac{g_{\text{Terra}}}{g_{\text{Lua}}}} = 1\times\sqrt{\frac{9{,}81}{1{,}63}}\approx 2{,}45\\ \mathrm{s},
que dá o mesmo resultado e é mais rápido quando T_{\text{Terra}} é conhecido.

Passo 6

Comentários finais e incentivo rápido:
  • Resumo prático: a massa não entra na fórmula, e para pequenas amplitudes T depende só de L e de g.
  • Se na prova te der T e g, isola L com L = \dfrac{gT^2}{4\pi^2}. Se te pedirem T em outro local com g', usa T' = 2\pi\sqrt{L/g'} ou o atalho T' = T\sqrt{g/g'}.
    Força aí — deu trabalho, mas você já aprendeu o truque que resolve essas questões rapidinho!

Resposta

L \approx 0{,}2485\\ \mathrm{m}
T_{\text{Lua}} \approx 2{,}45\\ \mathrm{s}

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