Uma pessoa oscila em um balanço e constata que o período é de 3,0 \mathrm{~s}. Uma segunda pessoa de mesma massa se junta à primeira. Com duas pessoas se balançando no brinquedo, o período passa a ser:
a) 6,0 \mathrm{~s}.
b) Maior que 3,0 \mathrm{~s}, mas não necessariamente 6,0 \mathrm{~s}.
c) 3,0 \mathrm{~s}.
d) Menor que 3,0 \mathrm{~s}, mas não necessariamente 1,5 \mathrm{~s}.
e) 1,5 \mathrm{~s}.
f) Não se pode afirmar nada sem saber qual é o comprimento.
Justifique sua resposta:
\_\_\_\_

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte.\n
  • Informação: com uma pessoa no balanço o período observado é 3,0\\ \mathrm{s}.\n
  • Informação: uma segunda pessoa de mesma massa se junta à primeira (ou seja, as duas ficam no mesmo balanço).\n
  • Pergunta: qual será o novo período quando as duas pessoas estiverem no balanço? (Oferece alternativas a–f.)\n
  • Informação implícita que vou assumir (porque o enunciado não diz o contrário): as duas pessoas ficam juntas no mesmo assento do balanço, na mesma distância do ponto de suspensão, e as oscilações são pequenas (pequeno ângulo). Essas hipóteses serão discutidas depois.

Passo 2

Vamos modelar o balanço de forma simples e física: o balanço comporta-se, para pequenas oscilações, como um pêndulo simples. Vou explicar esse modelo com calma.\n
  • Um pêndulo simples é um corpo de massa concentrada (bob) preso por uma corda ou haste sem massa de comprimento L que oscila sob a ação da gravidade g.\n
  • Para pequenas oscilações (ângulos pequenos \theta em radianos), usa-se a aproximação \sin\theta \approx \theta. Essa aproximação lineariza a equação e torna o movimento harmônico simples.\n
  • Variáveis que vamos usar: \,m = massa da pessoa, \,L = comprimento efetivo do balanço (distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa das pessoas), \,g = aceleração da gravidade, \,\theta(t) = deslocamento angular pequeno.

Passo 3

Derivação da equação de movimento para o pêndulo simples (passo a passo, sem pular etapas).\n
  • A força tangencial restauradora para uma massa m deslocada de \theta é -mg\sin\theta. Para pequeno \theta usamos -mg\sin\theta \approx -mg\theta.\n
  • A aceleração tangencial da massa está relacionada à aceleração angular por a_{\text{tang}} = L\,\ddot{\theta}, onde \ddot{\theta} é a segunda derivada temporal de \theta.\n
  • Aplicando a segunda lei de Newton na direção tangencial: m\,a_{\text{tang}} = -mg\theta.\n
    Colocando as expressões:
m \, L \, \ddot{\theta} = - m \, g \, \theta.
  • Podemos dividir ambos os lados por m (observe que m aparece em todos os termos e, portanto, cancela):
L \, \ddot{\theta} + g \, \theta = 0.
  • Essa é a equação do oscilador harmônico linear para \theta. A frequência angular natural \omega satisfaz
\omega^2 = \frac{g}{L},
e, portanto, o período T (tempo para uma oscilação completa) é
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.

Passo 4

Interpretação da fórmula e consequência importante: a massa não aparece no resultado.\n
  • Na fórmula final T = 2\pi\sqrt{L/g} somente aparecem L e g; a massa m desapareceu porque cancelou durante a derivação.\n
  • Isso significa que, para um pêndulo simples (e para o balanço modelado assim), o período é independente da massa que está pendurada: colocar uma pessoa mais pesada, mais leve, ou duas pessoas juntas (desde que fiquem no mesmo ponto) não altera T, desde que L e g permaneçam os mesmos.

Passo 5

Aplicando ao caso com duas pessoas juntas.\n
  • Com uma pessoa temos T_1 = 2\pi\sqrt{L/g} = 3,0\\ \mathrm{s} (dado do enunciado).\n
  • Se uma segunda pessoa de mesma massa se junta ao assento no mesmo ponto, a massa total passa a ser M = 2m, mas ao refazer a derivação a equação dinâmica fica M L \ddot{\theta} = - M g \theta e M cancela exatamente como antes.\n
  • Logo o período com duas pessoas é
T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = T_1 = 3,0\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Observações, limitações e quando a resposta poderia mudar (para não ficar com dúvidas na prova).\n
  • A conclusão de que o período não muda vale sob as hipóteses: (i) as duas pessoas ficam efetivamente no mesmo ponto do balanço (mesma L), (ii) as oscilações são pequenas (aproximação \sin\theta\approx\theta), e (iii) a haste/corda tem massa desprezível ou seu efeito já está incluído em L.\n- Se as pessoas se posicionassem de modo a deslocar o centro de massa do sistema (por exemplo, uma senta mais à frente do que a outra), ou se a distribuição de massa do sistema e o momento de inércia do conjunto mudassem de forma significativa, então o balanço deveria ser tratado como um pêndulo físico (pêndulo composto) e aí a expressão do período seria diferente (envolvendo momento de inércia I e distância do centro de massa), podendo o período mudar. Mas nada no enunciado indica isso; o caso típico e esperado é que fiquem juntas no mesmo assento.

Passo 7

Conclusão prática e incentivo.\n
  • Pelo raciocínio acima, com as hipóteses razoáveis do enunciado, o período não muda ao adicionar uma segunda pessoa igual no mesmo assento. Portanto a alternativa correta é a letra c.\n
  • Fica a dica para a prova: sempre verifique se a massa aparece na expressão final; se cancelar, então multiplicar a massa não muda o período — isso economiza tempo e evita cálculos desnecessários. Você está indo bem — respira fundo e confia no raciocínio!

Resposta

c) 3,0\\ \mathrm{s}

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