Uma pessoa oscila em um balanço e constata que o período é de
. Uma segunda pessoa de mesma massa se junta à primeira. Com duas pessoas se balançando no brinquedo, o período passa a ser:
a)
.
b) Maior que
, mas não necessariamente
.
c)
.
d) Menor que
, mas não necessariamente
.
e)
.
f) Não se pode afirmar nada sem saber qual é o comprimento.
Justifique sua resposta:
a)
b) Maior que
c)
d) Menor que
e)
f) Não se pode afirmar nada sem saber qual é o comprimento.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte.\n
- Informação: com uma pessoa no balanço o período observado é
.\n - Informação: uma segunda pessoa de mesma massa se junta à primeira (ou seja, as duas ficam no mesmo balanço).\n
- Pergunta: qual será o novo período quando as duas pessoas estiverem no balanço? (Oferece alternativas a–f.)\n
- Informação implícita que vou assumir (porque o enunciado não diz o contrário): as duas pessoas ficam juntas no mesmo assento do balanço, na mesma distância do ponto de suspensão, e as oscilações são pequenas (pequeno ângulo). Essas hipóteses serão discutidas depois.
Passo 2
Vamos modelar o balanço de forma simples e física: o balanço comporta-se, para pequenas oscilações, como um pêndulo simples. Vou explicar esse modelo com calma.\n
- Um pêndulo simples é um corpo de massa concentrada (bob) preso por uma corda ou haste sem massa de comprimento
que oscila sob a ação da gravidade .\n - Para pequenas oscilações (ângulos pequenos
em radianos), usa-se a aproximação . Essa aproximação lineariza a equação e torna o movimento harmônico simples.\n - Variáveis que vamos usar:
= massa da pessoa, = comprimento efetivo do balanço (distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa das pessoas), = aceleração da gravidade, = deslocamento angular pequeno.
Passo 3
Derivação da equação de movimento para o pêndulo simples (passo a passo, sem pular etapas).\n
- A força tangencial restauradora para uma massa
deslocada de é . Para pequeno usamos .\n - A aceleração tangencial da massa está relacionada à aceleração angular por
, onde é a segunda derivada temporal de .\n - Aplicando a segunda lei de Newton na direção tangencial:
.\n
Colocando as expressões:
- Podemos dividir ambos os lados por
(observe que aparece em todos os termos e, portanto, cancela):
- Essa é a equação do oscilador harmônico linear para
. A frequência angular natural satisfaz
e, portanto, o período
(tempo para uma oscilação completa) é
Passo 4
Interpretação da fórmula e consequência importante: a massa não aparece no resultado.\n
- Na fórmula final
somente aparecem e ; a massa desapareceu porque cancelou durante a derivação.\n - Isso significa que, para um pêndulo simples (e para o balanço modelado assim), o período é independente da massa que está pendurada: colocar uma pessoa mais pesada, mais leve, ou duas pessoas juntas (desde que fiquem no mesmo ponto) não altera
, desde que e permaneçam os mesmos.
Passo 5
Aplicando ao caso com duas pessoas juntas.\n
- Com uma pessoa temos
(dado do enunciado).\n - Se uma segunda pessoa de mesma massa se junta ao assento no mesmo ponto, a massa total passa a ser
, mas ao refazer a derivação a equação dinâmica fica e cancela exatamente como antes.\n - Logo o período com duas pessoas é
Passo 6
Observações, limitações e quando a resposta poderia mudar (para não ficar com dúvidas na prova).\n
- A conclusão de que o período não muda vale sob as hipóteses: (i) as duas pessoas ficam efetivamente no mesmo ponto do balanço (mesma
), (ii) as oscilações são pequenas (aproximação ), e (iii) a haste/corda tem massa desprezível ou seu efeito já está incluído em .\n- Se as pessoas se posicionassem de modo a deslocar o centro de massa do sistema (por exemplo, uma senta mais à frente do que a outra), ou se a distribuição de massa do sistema e o momento de inércia do conjunto mudassem de forma significativa, então o balanço deveria ser tratado como um pêndulo físico (pêndulo composto) e aí a expressão do período seria diferente (envolvendo momento de inércia e distância do centro de massa), podendo o período mudar. Mas nada no enunciado indica isso; o caso típico e esperado é que fiquem juntas no mesmo assento.
Passo 7
Conclusão prática e incentivo.\n
- Pelo raciocínio acima, com as hipóteses razoáveis do enunciado, o período não muda ao adicionar uma segunda pessoa igual no mesmo assento. Portanto a alternativa correta é a letra
.\n - Fica a dica para a prova: sempre verifique se a massa aparece na expressão final; se cancelar, então multiplicar a massa não muda o período — isso economiza tempo e evita cálculos desnecessários. Você está indo bem — respira fundo e confia no raciocínio!
Resposta
c)