Um pêndulo simples consiste de uma massa m puntiforme, suspenso por um fio (ou uma barra) inextensível e de massa desprezível, oscilando em torno de sua posição de equilíbrio. Obtenha a equação que descreve o movimento deste pêndulo. Obtenha as relações para a frequência e o período do movimento, para o caso de pequenas oscilações.
Passo 1
Beleza, então o problema diz que a gente tem um pêndulo simples: uma massinha
presa a um fio de comprimento
sem peso, que balança de um lado pro outro. O que nos pedem é:
- Escrever a equação que manda no movimento desse pêndulo.
- Achar as fórmulas da frequência e do período para pequenas oscilações.
Conteúdo que vamos usar: dinâmica de rotação (torque e momento de inércia) e equações diferenciais. Também vamos precisar da aproximação de pequenas oscilações (
quando
é pequeno).
Passo 2
Primeiro, monta a equação de movimento.
- Pende a massa e ela forma um ângulo
com a vertical. - A força de gravidade puxa pra baixo com
. O torque ( ) em relação ao ponto de suspensão é onde o sinal negativo indica que o torque “puxa” de volta pra zero (posição de equilíbrio). - O momento de inércia de uma massa pontual a distância
é - A segunda lei de Newton para rotação diz
- Cancelando
dos dois lados, a equação fica
Pronto, essa é a equação exata do pêndulo.
Passo 3
Agora, pra pequenas oscilações (quando
é bem pequenininho, tipo em radianos menos que uns 10°), a gente aproxima
Substituindo na equação, ela vira
Isso é uma equação diferencial linear de movimento harmônico simples.
Passo 4
A forma padrão do movimento harmônico simples é
onde
é a frequência angular. Comparando com o nosso caso, vemos
A partir de
, a frequência (em Hz) e o período (tempo de uma oscilação) são
Resposta
Equação de movimento (exata):
Para pequenas oscilações (
):