Um pêndulo simples consiste de uma massa m puntiforme, suspenso por um fio (ou uma barra) inextensível e de massa desprezível, oscilando em torno de sua posição de equilíbrio. Obtenha a equação que descreve o movimento deste pêndulo. Obtenha as relações para a frequência e o período do movimento, para o caso de pequenas oscilações.

Passo 1

Beleza, então o problema diz que a gente tem um pêndulo simples: uma massinha presa a um fio de comprimento sem peso, que balança de um lado pro outro. O que nos pedem é:
  • Escrever a equação que manda no movimento desse pêndulo.
  • Achar as fórmulas da frequência e do período para pequenas oscilações.
Conteúdo que vamos usar: dinâmica de rotação (torque e momento de inércia) e equações diferenciais. Também vamos precisar da aproximação de pequenas oscilações ( quando é pequeno).

Passo 2

Primeiro, monta a equação de movimento.
  1. Pende a massa e ela forma um ângulo tau = -,L times (mgsintheta) = -,mgLsintheta, com a vertical.
  2. A força de gravidade puxa pra baixo com I = mL^2 . O torque ( I,ddottheta = tau Longrightarrow mL^2,ddottheta = -,mgLsintheta ) em relação ao ponto de suspensão é ddottheta + gL,sintheta = 0 onde o sinal negativo indica que o torque “puxa” de volta pra zero (posição de equilíbrio).
  3. O momento de inércia de uma massa pontual a distância é
  4. A segunda lei de Newton para rotação diz
  5. Cancelando dos dois lados, a equação fica
Pronto, essa é a equação exata do pêndulo.

Passo 3

Agora, pra pequenas oscilações (quando sintheta approx theta é bem pequenininho, tipo em radianos menos que uns 10°), a gente aproxima
ddottheta + gL,theta = 0
Substituindo na equação, ela vira
Isso é uma equação diferencial linear de movimento harmônico simples.

Passo 4

A forma padrão do movimento harmônico simples é
ddottheta + omega^2,theta = 0,
onde omega^2 = gL Longrightarrow omega = raizgL é a frequência angular. Comparando com o nosso caso, vemos
f = omega2pi = 12piraizgL, T = 1f = 2piraizLg
A partir de , a frequência (em Hz) e o período (tempo de uma oscilação) são

Resposta

Equação de movimento (exata):
ddottheta + gL,sintheta = 0
Para pequenas oscilações ( ddottheta + gL,theta = 0, ):
omega = raizgL, f = 12piraizgL, T = 2piraizLg

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