Uma pequena esfera é lançada do alto de um muro com altura h0=3,0 m acima do solo e com uma velocidade horizontal v0 de módulo 5 m / s. Considere desprezível o atrito da esfera com o ar e trate a esfera como um ponto. Suponha a aceleração da gravidade g=10 m / s^2. Use o sistema de coordenadas da figura abaixo, com vetores unitários imath e jmath dados nas direções de x e de y, respectivamente.
Utilize os resultados dos itens b) e c) para escrever o vetor posição r e o vetor velocidade instantânea v da esfera em termos dos vetores unitários imath e jmath.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre o movimento de uma esfera que é lançada de cima de um muro com uma certa velocidade horizontal. A altura do muro é de h0=3,0 m e a velocidade inicial é de 5 m / s. A gente vai trabalhar com conceitos de movimento projetado na física, que envolve descrever a posição e a velocidade da esfera ao longo do tempo usando vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor o movimento em direções horizontais e verticais e usar os vetores unitários imath e jmath.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na posição da esfera em qualquer instante de tempo t. A posição pode ser descrita pelo vetor r, que tem componentes nas direções horizontal ( x) e vertical ( y). Então, podemos escrever:
r = x(t) imath + y(t) jmath
Aqui, x(t) é a posição horizontal e y(t) é a posição vertical da esfera no tempo t.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada componente da posição. Como a esfera é lançada com uma velocidade horizontal inicial de 5 m/s e não há aceleração horizontal (a gente despreza o atrito do ar), a posição horizontal é:
x(t) = v0 t = 5t , m
Já na direção vertical, a esfera está sujeita à aceleração da gravidade g = 10 m/s^2. A posição vertical é dada pela equação do movimento uniformemente variado:
y(t) = h0 - 12 g t^2 = 3,0 - 5t^2 , m
O sinal negativo na segunda parcela indica que a esfera está descendo.

Passo 4

Com as expressões de x(t) e y(t), podemos escrever o vetor posição r:
r = (5t) imath + (3,0 - 5t^2) jmath , m

Passo 5

Agora, vamos pensar na velocidade instantânea v da esfera. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando cada componente de r:
vx(t) = dxdt = 5 , m/s
vy(t) = dydt = -10t , m/s

Passo 6

Assim, o vetor velocidade v fica:
v = (5) imath + (-10t) jmath , m/s

Resposta

A posição da esfera é dada por:
r = (5t) imath + (3,0 - 5t^2) jmath , m
E a velocidade instantânea da esfera é:
v = 5 imath - 10t jmath , m/s

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