Uma pequena esfera é lançada do alto de um muro com altura acima do solo e com uma velocidade horizontal de módulo 5 m / s. Considere desprezível o atrito da esfera com o ar e trate a esfera como um ponto. Suponha a aceleração da gravidade g=10 m / s^2. Use o sistema de coordenadas da figura abaixo, com vetores unitários imath e jmath dados nas direções de x e de y, respectivamente.
Utilize os resultados dos itens b) e c) para escrever o vetor posição r e o vetor velocidade instantânea v da esfera em termos dos vetores unitários imath e jmath.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre o movimento de uma esfera que é lançada de cima de um muro com uma certa velocidade horizontal. A altura do muro é de h0=3,0 m e a velocidade inicial é de 5 m / s. A gente vai trabalhar com conceitos de movimento projetado na física, que envolve descrever a posição e a velocidade da esfera ao longo do tempo usando vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor o movimento em direções horizontais e verticais e usar os vetores unitários imath e jmath.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na posição da esfera em qualquer instante de tempo t. A posição pode ser descrita pelo vetor r, que tem componentes nas direções horizontal (x) e vertical (y). Então, podemos escrever:
r = x(t) imath + y(t) jmath
Aqui, x(t) é a posição horizontal e y(t) é a posição vertical da esfera no tempo t.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada componente da posição. Como a esfera é lançada com uma velocidade horizontal inicial de 5 m/s e não há aceleração horizontal (a gente despreza o atrito do ar), a posição horizontal é:
x(t) = v0 t = 5t , m
Já na direção vertical, a esfera está sujeita à aceleração da gravidade g = 10 m/s^2. A posição vertical é dada pela equação do movimento uniformemente variado:
y(t) = h0 - 12 g t^2 = 3,0 - 5t^2 , m
O sinal negativo na segunda parcela indica que a esfera está descendo.
Passo 4
Com as expressões de x(t) e y(t), podemos escrever o vetor posição r:
r = (5t) imath + (3,0 - 5t^2) jmath , m
Passo 5
Agora, vamos pensar na velocidade instantânea v da esfera. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando cada componente de r: