Uma pequena usina geradora industrial alimenta 50 kVA de compressores e 45 kVA de motores de indução. Os compressores possuem um fator de potência atrasado de 0,80 e os motores possuem um fator de potência atrasado de 0,82 . O sistema é alimentado por uma fonte de 800 Vrms e 60 Hz . Determine o fator de potência da associação das cargas conforme configuração atual e calcule capacitância necessária para aumentar e corrigir o fator de potência para 0,92.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o fator de potência (FP) da associação das cargas na configuração atual.
  • Calcular a capacitância necessária para corrigir o fator de potência da associação para 0,92.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Compressores: potência aparente S_1 = 50\\ \text{kVA}, fator de potência atrasado \text{pf}_1 = 0,80.
  • Motores: potência aparente S_2 = 45\\ \text{kVA}, fator de potência atrasado \text{pf}_2 = 0,82.
  • Tensão da fonte: V_{\text{rms}} = 800\\ \text{V}.
  • Frequência: f = 60\\ \text{Hz}.
  • Objetivo final: corrigir o FP combinado para \text{pf}_{\text{dest}} = 0,92.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (aula rápida, mastigada):
  • Potência aparente S (em VA) é o módulo da potência fornecida a uma carga; a potência real P (em W) é a parte que realiza trabalho/gera calor; a potência reativa Q (em VAR) é a parte armazenada/recuperada (indutiva é positiva aqui).
  • Relações básicas entre S, P, Q e o fator de potência \text{pf}: P = S\cdot\text{pf}, \qquad Q = S\cdot\sqrt{1-\text{pf}^2}, \qquad \text{pf}=\frac{P}{S}=\cos\varphi,onde \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente.
  • Se somarmos cargas em paralelo (ou simplesmente agregarmos cargas alimentadas pela mesma tensão), as potências reais somam e as reativas somam algebraicamente: P_{\text{tot}}=\sum P_i,\qquad Q_{\text{tot}}=\sum Q_i.O módulo da potência aparente total vale S_{\text{tot}}=\sqrt{P_{\text{tot}}^2+Q_{\text{tot}}^2},e o fator de potência combinado é \text{pf}_{\text{tot}}=P_{\text{tot}}/S_{\text{tot}}.
  • Para correção com capacitor em derivação (shunt): o capacitor fornece potência reativa capacitiva Q_C (em VAR), que reduz a reativa indutiva líquida. A potência reativa fornecida pelo capacitor em tensão rms V e frequência f é Q_C = V^2\omega C = V^2 (2\pi f) C,onde C é a capacitância (em farads). Para reduzir Q_{\text{tot}} até o valor compatível com \text{pf}_{\text{dest}} calculamos Q_C = Q_{\text{tot}} - Q_{\text{req}},com Q_{\text{req}} = P_{\text{tot}}\tan\varphi_{\text{dest}}, \qquad \tan\varphi_{\text{dest}}=\frac{\sqrt{1-\text{pf}_{\text{dest}}^2}}{\text{pf}_{\text{dest}}}.
  • Observação de sinais: aqui Q_{\text{tot}} é a reativa indutiva (positiva). O capacitor dá reativa capacitiva (negativa), por isso subtrai-se Q_C da reativa total.

Passo 3

Calcular P e Q de cada carga (passo a passo com números):
  • Para os compressores: P_1 = S_1\cdot\text{pf}_1 = 50\\ \text{kVA}\cdot 0,80 = 40\\ \text{kW}.
Q_1 = S_1\cdot\sqrt{1-\text{pf}_1^2} = 50\\ \text{kVA}\cdot\sqrt{1-0,80^2} = 50\cdot\sqrt{1-0,64}=50\cdot0,6=30\\ \text{kVAr}.
  • Para os motores: P_2 = S_2\cdot\text{pf}_2 = 45\\ \text{kVA}\cdot 0,82 = 36,9\\ \text{kW}.
Q_2 = S_2\cdot\sqrt{1-\text{pf}_2^2} = 45\cdot\sqrt{1-0,82^2}=45\cdot\sqrt{1-0,6724}=45\cdot0,57245\approx 25,76\\ \text{kVAr}.

Passo 4

Somar potências e achar o fator de potência combinado atual:
  • Somatório das potências reais: P_{\text{tot}} = P_1 + P_2 = 40 + 36,9 = 76,9\\ \text{kW}.
  • Somatório das potências reativas (ambas indutivas): Q_{\text{tot}} = Q_1 + Q_2 = 30 + 25,76 = 55,76\\ \text{kVAr}.
  • Potência aparente total: S_{\text{tot}} = \sqrt{P_{\text{tot}}^2 + Q_{\text{tot}}^2} = \sqrt{76,9^2 + 55,76^2} \approx \sqrt{5917,61 + 3109,91} \approx \sqrt{9027,52} \approx 95,04\\ \text{kVA}.
  • Fator de potência combinado: \text{pf}_{\text{tot}} = \frac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}} = \frac{76,9}{95,04} \approx 0,8096 \approx 0,81.

Passo 5

Calcular quanto de reativa devemos ter após correção (valor requerido para \text{pf}_{\text{dest}}=0,92):
  • Primeiro calcular \tan\varphi_{\text{dest}} sem precisar do arco-coseno, usando \tan\varphi_{\text{dest}}=\frac{\sqrt{1-\text{pf}_{\text{dest}}^2}}{\text{pf}_{\text{dest}}} =\frac{\sqrt{1-0,92^2}}{0,92}=\frac{\sqrt{0,1536}}{0,92}=\frac{0,392}{0,92}\approx 0,42609.
  • Assim a reativa permitida após correção deve ser Q_{\text{req}} = P_{\text{tot}}\tan\varphi_{\text{dest}} = 76,9\cdot 0,42609 \approx 32,77\\ \text{kVAr}.

Passo 6

Determinar a potência reativa capacitiva necessária Q_C:
  • O capacitor deve suprir a diferença entre a reativa atual e a reativa desejada: Q_C = Q_{\text{tot}} - Q_{\text{req}} = 55,76 - 32,77 \approx 22,99\\ \text{kVAr}.(ou seja, o banco de capacitores deve fornecer aproximadamente 22,99\\ \text{kVAr} de reativa capacitiva).

Passo 7

Converter Q_C em capacitância C usando Q_C = V^2(2\pi f)C. Resolver para C:
  • Primeiro passar Q_C para unidades de VAR: Q_C = 22,99\\ \text{kVAr} = 22\,990\\ \text{VAR}.
  • Escrever a fórmula e isolar C: C = \frac{Q_C}{V^2(2\pi f)}.
  • Substituir valores: C = \frac{22\,990}{800^2\cdot 2\pi\cdot 60}.Calcular o denominador: 800^2\cdot 2\pi\cdot 60 = 640\,000\cdot 376{,}991118\approx 241\,274\,316.Portanto C \approx \frac{22\,990}{241\,274\,316}\\ \text{F} \approx 9{,}5287\cdot10^{-5}\\ \text{F}.
  • Converter para microfarads: C \approx 95{,}3\\ \mu\text{F}.

Passo 8

Interpretação prática e cheque rápido:
  • O FP combinado antes da correção é aproximadamente \,0,81, ou seja, está bem atrasado.
  • Para elevar o FP para 0,92 precisamos de um banco de capacitores que forneça cerca de 22,99\\ \text{kVAr}.
  • Isso corresponde a uma capacitância aproximada de 95{,}3\\ \mu\text{F} conectada à tensão de 800\\ \text{V rms} (sistema monofásico ou por fase, dependendo de como a instalação é feita).
  • Observação prática: na instalação real costuma-se escolher bancos comerciais padronizados (ex.: 25 kVAr, 20 kVAr, etc.) e fazer a correção em etapas ou por chaves de comutação para evitar sobrecorreção. Também verificar se 800\\ \text{V} é tensão de fase ou de linha e adequar a montagem em sistema trifásico se for o caso.

Resposta

\text{pf}_{\text{atual}}\approx 0,81
C \approx 95{,}3\\ \mu\text{F}

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