Um pequeno bloco é solto do repouso em um plano inclinado de um ângulo
com a horizontal. Após descer uma distância
ao longo do plano, com aceleração constante, o módulo de sua velocidade é
, onde
é o módulo da aceleração da gravidade local. Determine (a) o módulo da aceleração do bloco (em função de
) e (b) o valor do coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície do plano.
Passo 1
O enunciado diz que um bloco parte do repouso e percorre, ao longo de um plano inclinado de ângulo
, uma distância
com aceleração constante. Ao fim dessa distância sua velocidade (módulo) é
, onde
é a aceleração da gravidade. As perguntas são:
- (a) Qual o módulo da aceleração do bloco (em função de
)? - (b) Qual o coeficiente de atrito cinético
entre bloco e plano?
Informações relevantes dadas:
- velocidade inicial ao longo do plano:
, - deslocamento ao longo do plano:
, - velocidade final:
, - aceleração da gravidade:
, - o movimento é descendente ao longo do plano e a aceleração é constante.
Passo 2
Vamos obter a aceleração usando cinemática retilínea com aceleração constante. A equação que relaciona velocidades, aceleração e deslocamento (sem depender do tempo) é
onde
é a velocidade final,
a inicial,
a aceleração (na direção do deslocamento) e
o deslocamento. Aqui
e
, portanto
Isolando
temos
Agora substituímos o valor dado de
. Como
, temos
. Então
Simplificando o
e a divisão por
obtemos
Portanto a aceleração do bloco ao longo do plano tem módulo
.
Passo 3
Agora vamos relacionar essa aceleração com as forças para achar o coeficiente de atrito. Fizemos um breve “aula” sobre as forças no plano inclinado:
- Força peso:
(vertical para baixo), de módulo . - Decompomos o peso em duas componentes relativas ao plano:
- componente paralela ao plano (para baixo):
; - componente perpendicular ao plano:
.
Essas fórmulas vêm da geometria do triângulo formado pela decomposição do vetor peso.
- componente paralela ao plano (para baixo):
- A força normal
equilibra a componente perpendicular (não há aceleração nessa direção), logo
- A força de atrito cinético tem módulo
e atua no sentido contrário ao movimento (ou seja, para cima do plano, já que o bloco desce).
Aplicamos a segunda lei de Newton ao longo da direção paralela ao plano (tomando positivo no sentido descendente): soma das forças na direção do movimento é massa vezes aceleração:
Substituímos
, ficando
Dividindo ambos os lados por
(a massa cancela) e por
quando conveniente, obtemos:
Passo 4
Isolando
na equação anterior:
Já encontramos
. Substituindo:
Uma forma alternativa equivalente, usando identidades trigonométricas, é
mas a forma
é mais direta. Note que, fisicamente, para que
seja positiva é necessário que
; caso contrário o dado do problema implicaria atrito negativo (o que não ocorreria em situação física real), mas assumimos que o enunciado é consistente.
Resposta
(a)
(b)
(b)