Um pequeno bloco é solto do repouso em um plano inclinado de um ângulo \theta com a horizontal. Após descer uma distância L ao longo do plano, com aceleração constante, o módulo de sua velocidade é \sqrt{\frac{4}{5} L g}, onde g é o módulo da aceleração da gravidade local. Determine (a) o módulo da aceleração do bloco (em função de g ) e (b) o valor do coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície do plano.

Passo 1

O enunciado diz que um bloco parte do repouso e percorre, ao longo de um plano inclinado de ângulo \theta, uma distância L com aceleração constante. Ao fim dessa distância sua velocidade (módulo) é \sqrt{\tfrac{4}{5}Lg}, onde g é a aceleração da gravidade. As perguntas são:
  • (a) Qual o módulo da aceleração do bloco (em função de g)?
  • (b) Qual o coeficiente de atrito cinético \mu_k entre bloco e plano?
Informações relevantes dadas:
  • velocidade inicial ao longo do plano: \,v_0=0,
  • deslocamento ao longo do plano: \,s=L,
  • velocidade final: \,v=\sqrt{\tfrac{4}{5}Lg},
  • aceleração da gravidade: \,g,
  • o movimento é descendente ao longo do plano e a aceleração é constante.

Passo 2

Vamos obter a aceleração usando cinemática retilínea com aceleração constante. A equação que relaciona velocidades, aceleração e deslocamento (sem depender do tempo) é
v^{2}=v_{0}^{2}+2as,
onde v é a velocidade final, v_{0} a inicial, a a aceleração (na direção do deslocamento) e s o deslocamento. Aqui v_{0}=0 e s=L, portanto
v^{2}=2aL.
Isolando a temos
a=\frac{v^{2}}{2L}.
Agora substituímos o valor dado de v^{2}. Como v=\sqrt{\tfrac{4}{5}Lg}, temos v^{2}=\tfrac{4}{5}Lg. Então
a=\frac{\tfrac{4}{5}Lg}{2L}.
Simplificando o L e a divisão por 2 obtemos
a=\frac{4}{5}\cdot\frac{g}{2}=\frac{2}{5}\,g.
Portanto a aceleração do bloco ao longo do plano tem módulo \displaystyle \frac{2}{5}g.

Passo 3

Agora vamos relacionar essa aceleração com as forças para achar o coeficiente de atrito. Fizemos um breve “aula” sobre as forças no plano inclinado:
  • Força peso: \vec{P}=m\vec{g} (vertical para baixo), de módulo mg.
  • Decompomos o peso em duas componentes relativas ao plano:
    • componente paralela ao plano (para baixo): \,P_{\parallel}=mg\sin\theta;
    • componente perpendicular ao plano: \,P_{\perp}=mg\cos\theta.
      Essas fórmulas vêm da geometria do triângulo formado pela decomposição do vetor peso.
  • A força normal N equilibra a componente perpendicular (não há aceleração nessa direção), logo
N=mg\cos\theta.
  • A força de atrito cinético tem módulo
f_k=\mu_k N=\mu_k mg\cos\theta,
e atua no sentido contrário ao movimento (ou seja, para cima do plano, já que o bloco desce).
Aplicamos a segunda lei de Newton ao longo da direção paralela ao plano (tomando positivo no sentido descendente): soma das forças na direção do movimento é massa vezes aceleração:
\sum F_{\parallel}=mg\sin\theta - f_k = m a.
Substituímos f_k=\mu_k mg\cos\theta, ficando
mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta = m a.
Dividindo ambos os lados por m (a massa cancela) e por g quando conveniente, obtemos:
\sin\theta - \mu_k\cos\theta = \frac{a}{g}.

Passo 4

Isolando \mu_k na equação anterior:
\mu_k\cos\theta = \sin\theta - \frac{a}{g},
\mu_k = \frac{\sin\theta - \dfrac{a}{g}}{\cos\theta}.
Já encontramos \dfrac{a}{g}=\dfrac{2}{5}. Substituindo:
\mu_k = \frac{\sin\theta - \tfrac{2}{5}}{\cos\theta}.
Uma forma alternativa equivalente, usando identidades trigonométricas, é
\mu_k = \tan\theta - \tfrac{2}{5}\operatorname{sec}\theta,
mas a forma \dfrac{\sin\theta-\tfrac{2}{5}}{\cos\theta} é mais direta. Note que, fisicamente, para que \mu_k seja positiva é necessário que \sin\theta>\tfrac{2}{5}; caso contrário o dado do problema implicaria atrito negativo (o que não ocorreria em situação física real), mas assumimos que o enunciado é consistente.

Resposta

(a) \displaystyle a=\frac{2}{5}\,g
(b) \displaystyle \mu_{k}=\frac{\sin\theta-\tfrac{2}{5}}{\cos\theta}

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