Um bloco (1) de massa igual a M está preso a um fio, de comprimento L_{1}, que está fixo na outra extremidade. Um segundo bloco (2), de massa 2 M, está ligado ao primeiro por um fio de comprimento L_{2}\left(L_{2}=L_{1}=L\right), Os blocos giram num círculo horizontal sobre uma mesa sem atrito. O módulo da velocidade do bloco 1 é v e o módulo da velocidade do bloco 2 é 2 v. Determine, em função de M, ve L, (a) a tensão no fio de comprimento L_{1} e (b) a tensão no fio de comprimento L_{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) a tensão no fio de comprimento L_{1} (o fio interno, entre o ponto fixo e o bloco 1);
(b) a tensão no fio de comprimento L_{2} (o fio entre o bloco 1 e o bloco 2).
Informações dadas (retirei do enunciado e da figura):
  • massa do bloco 1: M;
  • massa do bloco 2: 2M;
  • L_{1}=L_{2}=L;
  • velocidade do bloco 1: v;
  • velocidade do bloco 2: 2v.
Posições radiais (da figura / enunciado): o bloco 1 descreve um círculo de raio
r_{1}=L_{1}=L,
o bloco 2 descreve um círculo de raio
r_{2}=L_{1}+L_{2}=L+L=2L.
Não resolvo ainda — apenas organizei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Conceito essencial (aula rápida e prática): para um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular de raio r com velocidade escalar v, é necessária uma força resultante apontando para o centro da curva para manter o movimento circular. Essa aceleração para o centro chama-se aceleração centrípeta e vale
a_{c}=\frac{v^{2}}{r}.
A força centrípeta necessária é
F_{c}=m\,a_{c}=m\frac{v^{2}}{r}.
No nosso problema as forças que fornecem essa força centrípeta são tensões nos fios (as componentes horizontais delas). Verticalmente o peso e a normal se anulam (a mesa é sem atrito), então só precisamos cuidar das componentes horizontais das tensões.
Dica prática para prova: identifique para cada bloco todas as forças horizontais, faça soma vetorial (normalmente só na direção radial) igual a m v^{2}/r apontando para o centro.

Passo 3

Análise do bloco 2 (externo), massa 2M:
  • Forças horizontais sobre o bloco 2: única força que age radialmente é a tensão do fio que o liga ao bloco 1 (vou chamar de T_{2}), dirigida para o centro (ou seja, para a esquerda na figura).
  • Portanto essa tensão fornece toda a força centrípeta necessária:
T_{2}=m_{2}\frac{v_{2}^{2}}{r_{2}}.
Agora substituímos os valores: m_{2}=2M, v_{2}=2v, r_{2}=2L. Calculando passo a passo:
T_{2}=2M\cdot\frac{(2v)^{2}}{2L}.
Primeiro desenvolvemos o quadrado:
(2v)^{2}=4v^{2},
então
T_{2}=2M\cdot\frac{4v^{2}}{2L}.
Cancelamos o 2 no numerador com o 2 do denominador:
T_{2}=M\cdot\frac{4v^{2}}{L}.
Portanto
T_{2}=\frac{4M v^{2}}{L}.

Passo 4

Análise do bloco 1 (interno), massa M:
  • Forças horizontais sobre o bloco 1: a tensão do fio interno, T_{1}, que puxa o bloco para o centro (direção para a esquerda na figura), e a tensão do fio que liga ao bloco 2 (a mesma T_{2} calculada no passo anterior), que puxa o bloco 1 para fora (direção para a direita). Assim, na direção radial (tomando positivo para dentro, ou seja, para a esquerda), a soma das forças é
\text{(resultado para dentro)} = T_{1} - T_{2}.
Essa soma deve ser igual à força centrípeta requerida para o bloco 1:
T_{1}-T_{2}=m_{1}\frac{v_{1}^{2}}{r_{1}}.
Agora substituímos m_{1}=M, v_{1}=v, r_{1}=L e usamos o valor de T_{2} do passo anterior. Primeiro escrevemos a equação para T_{1}:
T_{1}=m_{1}\frac{v_{1}^{2}}{r_{1}}+T_{2}.
Substituindo:
T_{1}=M\cdot\frac{v^{2}}{L} + \frac{4M v^{2}}{L}.
Agora somamos os termos (mesmo denominador):
T_{1}=\frac{M v^{2}}{L}+\frac{4M v^{2}}{L}=\frac{5M v^{2}}{L}.

Passo 5

Verificação rápida de unidade e plausibilidade (truque para a prova): tensão tem unidade de força; M v^{2}/L tem unidade de massa \times (velocidade)^2 / comprimento = força, ok. Exemplo numérico para checar coerência: se M=1\\ \text{kg}, v=1\\ \text{m/s}, L=1\\ \text{m} então T_{2}=4\\ \text{N} e T_{1}=5\\ \text{N} — faz sentido: o fio interno suporta a força centrípeta do bloco 1 mais a tração causada pelo bloco 2.

Resposta

(a) T_{1}=\dfrac{5M v^{2}}{L}
(b) T_{2}=\dfrac{4M v^{2}}{L}

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