Um bloco (1) de massa igual a
está preso a um fio, de comprimento
, que está fixo na outra extremidade. Um segundo bloco (2), de massa
, está ligado ao primeiro por um fio de comprimento
, Os blocos giram num círculo horizontal sobre uma mesa sem atrito. O módulo da velocidade do bloco 1 é
o módulo da velocidade do bloco 2 é
. Determine, em função de
, ve
, (a) a tensão no fio de comprimento
e (b) a tensão no fio de comprimento
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) a tensão no fio de comprimento (o fio interno, entre o ponto fixo e o bloco 1);
(b) a tensão no fio de comprimento (o fio entre o bloco 1 e o bloco 2).
(a) a tensão no fio de comprimento
(b) a tensão no fio de comprimento
Informações dadas (retirei do enunciado e da figura):
- massa do bloco 1:
; - massa do bloco 2:
; -
; - velocidade do bloco 1:
; - velocidade do bloco 2:
.
Posições radiais (da figura / enunciado): o bloco 1 descreve um círculo de raio
o bloco 2 descreve um círculo de raio
Não resolvo ainda — apenas organizei o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Conceito essencial (aula rápida e prática): para um objeto de massa
que se move em uma trajetória circular de raio
com velocidade escalar
, é necessária uma força resultante apontando para o centro da curva para manter o movimento circular. Essa aceleração para o centro chama-se aceleração centrípeta e vale
A força centrípeta necessária é
No nosso problema as forças que fornecem essa força centrípeta são tensões nos fios (as componentes horizontais delas). Verticalmente o peso e a normal se anulam (a mesa é sem atrito), então só precisamos cuidar das componentes horizontais das tensões.
Dica prática para prova: identifique para cada bloco todas as forças horizontais, faça soma vetorial (normalmente só na direção radial) igual a
apontando para o centro.
Passo 3
Análise do bloco 2 (externo), massa
:
- Forças horizontais sobre o bloco 2: única força que age radialmente é a tensão do fio que o liga ao bloco 1 (vou chamar de
), dirigida para o centro (ou seja, para a esquerda na figura). - Portanto essa tensão fornece toda a força centrípeta necessária:
Agora substituímos os valores:
,
,
. Calculando passo a passo:
Primeiro desenvolvemos o quadrado:
então
Cancelamos o
no numerador com o
do denominador:
Portanto
Passo 4
Análise do bloco 1 (interno), massa
:
- Forças horizontais sobre o bloco 1: a tensão do fio interno,
, que puxa o bloco para o centro (direção para a esquerda na figura), e a tensão do fio que liga ao bloco 2 (a mesma calculada no passo anterior), que puxa o bloco 1 para fora (direção para a direita). Assim, na direção radial (tomando positivo para dentro, ou seja, para a esquerda), a soma das forças é
Essa soma deve ser igual à força centrípeta requerida para o bloco 1:
Agora substituímos
,
,
e usamos o valor de
do passo anterior. Primeiro escrevemos a equação para
:
Substituindo:
Agora somamos os termos (mesmo denominador):
Passo 5
Verificação rápida de unidade e plausibilidade (truque para a prova): tensão tem unidade de força;
tem unidade de massa
(velocidade)^2 / comprimento = força, ok. Exemplo numérico para checar coerência: se
,
,
então
e
— faz sentido: o fio interno suporta a força centrípeta do bloco 1 mais a tração causada pelo bloco 2.
Resposta
(a)
(b)
(b)