Um pequeno corpo é lançado verticalmente para cima, a partir de uma altura de 5 m , com velocidade de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determinar: (a) O tempo que durou até atingir a altura máxima; (b) 0 tempo até atingir o solo; (c) A velocidade ao chegar no solo. R: 1,5 s; 3,36 s e 18 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado trata de um lançamento vertical para cima a partir de uma altura inicial de 5\;\mathrm{m}, com velocidade inicial v_{0}=15\;\mathrm{m/s}. A única aceleração é a da gravidade, \,a=-g, com g=9,8\;\mathrm{m/s^2} (sinal negativo porque aponta para baixo). Vamos usar as equações de cinemática de movimento uniformemente acelerado em uma dimensão: \displaystyle v(t)=v_{0}-g\,t \displaystyle y(t)=y_{0}+v_{0}\,t-\tfrac12\,g\,t^{2}

Passo 2

Para achar o tempo até a altura máxima, notamos que ali a velocidade instantânea é zero, isto é, v(t_{\max})=0. Então, da equação
0 = v_{0} - g\,t_{\max}
segue
t_{\max}=\frac{v_{0}}{g}=\frac{15}{9,8}\approx1{,}53\;\mathrm{s}.
Arredondando a uma casa decimal, obtemos t_{\max}\approx1{,}5\;\mathrm{s}.

Passo 3

Para determinar o tempo até atingir o solo, impomos y(t_{\text{solo}})=0 na equação do espaço:
0 = 5 + 15\,t - \tfrac12\cdot9,8\,t^{2}
que é
4{,}9\,t^{2}-15\,t-5=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara para a raiz positiva,
t_{\text{solo}} = \frac{15 + \sqrt{15^{2}+4\cdot4{,}9\cdot5}}{2\cdot4{,}9} = \frac{15 + \sqrt{225+98}}{9{,}8} = \frac{15 + \sqrt{323}}{9{,}8} \approx3{,}3659\;\mathrm{s},
ou seja, t_{\text{solo}}\approx3{,}36\;\mathrm{s}.

Passo 4

A velocidade ao chegar no solo é
v(t_{\text{solo}})=v_{0}-g\,t_{\text{solo}} =15 - 9,8\cdot3{,}3659 \approx -17{,}0\;-\;0{,}996 \approx -18\;\mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica direção para baixo, mas em módulo fica 18\;\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) 1{,}5\;\mathrm{s}
(b) 3{,}36\;\mathrm{s}
(c) 18\;\mathrm{m/s}

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