Um pequeno reservatório contém água (massa específica de
) com uma profundidade inicial
. O diâmetro do reservatório é
. Um furo com diâmetro
aparece no fundo do reservatório. Use aceleração da gravidade igual à
. Uma solução aceitável para estimar o tempo de esvaziamento do reservatório é utilizar os seguintes passos, considerando pressão hidrostática média e escoamento permanente:
- Cálculo da força hidrostática no furo;
- Cálculo da velocidade do escoamento no furo;
- Cálculo da vazão do escoamento no furo;
- Cálculo do tempo necessário para o esvaziamento do reservatório.
Usando a solução exata a seguir, calcule a o tempo que o reservatório ficará vazio e diga o erro comparado com a solução anterior (dos passos).
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Profundidade inicial:
. - Diâmetro do reservatório:
. - Diâmetro do furo:
. - Aceleração da gravidade:
. - Densidade da água:
(não é necessária para o tempo se usar Torricelli, mas está disponível).
O que o enunciado pede:
- Calcular o tempo que o reservatório ficará vazio usando a solução exata fornecida
ou seja, encontrar
tal que
.
2. Comparar esse tempo exato com a solução aproximada sugerida (método dos passos: usar pressão hidrostática média e escoamento permanente) e dizer o erro entre as duas soluções.
2. Comparar esse tempo exato com a solução aproximada sugerida (método dos passos: usar pressão hidrostática média e escoamento permanente) e dizer o erro entre as duas soluções.
Passo 2
Encontrar o tempo exato de esvaziamento a partir da fórmula dada.
Explicação rápida do que a fórmula implica: a expressão interna
chega a zero exatamente quando o reservatório fica vazio (pois
quadrado dessa expressão). Então basta resolver para
a equação
Isolando
obtemos a fórmula do tempo exato de esvaziamento:
Passo 3
Calcular numericamente
passo a passo, explicando cada termo.
- Calcular
:
- Calcular a razão de diâmetros e o quadrado:
- Calcular
:
- Multiplicar o denominador:
- Finalmente o tempo exato:
Converter para horas e dias (para ficar intuitivo):
Passo 4
Agora vamos montar a solução aproximada pelo método sugerido (pressão hidrostática média + escoamento permanente) e calcular o tempo aproximado para comparar.
Ideia do método aproximado:
- Usa-se uma pressão média equivalente a considerar uma altura média de coluna de água
. - Usa-se a fórmula de Torricelli para velocidade permanente
(explicando: Torricelli diz que a velocidade de saída sob uma cabeça é se desprezarmos perdas). - Vazão
. - Volume inicial
. - Tempo aproximado
.
Cálculos passo a passo:
- Altura média:
- Velocidade aproximada pela cabeça média:
- Área do furo:
- Área do reservatório (seção transversal):
- Volume inicial:
- Vazão aproximada:
- Tempo aproximado:
Converter:
Observação rápida (didática): esse método aproxima a velocidade por uma cabeça média e considera vazão constante; como a cabeça real diminui com o tempo, esse procedimento tende a superestimar a vazão média e, portanto, subestimar o tempo real de esvaziamento — coisa que vamos confirmar numericamente.
Passo 5
Calcular o erro entre a solução aproximada e a solução exata.
- Diferença absoluta (tempo exato menos aproximado):
Converter:
- Erro relativo (percentual) com base no tempo exato:
Arredondando de forma razoável, o erro percentual da solução aproximada é cerca de
(a solução aproximada fornece um tempo menor do que o exato).
Resposta
Erro da solução aproximada em relação ao exato:
, ou
.