Um pequeno reservatório contém água (massa específica de 999 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) com uma profundidade inicial y_{0}=34,5 \mathrm{~cm}. O diâmetro do reservatório é D=9,5 \mathrm{~cm}. Um furo com diâmetro d=0,08 \mathrm{~mm} aparece no fundo do reservatório. Use aceleração da gravidade igual à 9,78 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Uma solução aceitável para estimar o tempo de esvaziamento do reservatório é utilizar os seguintes passos, considerando pressão hidrostática média e escoamento permanente:
  • Cálculo da força hidrostática no furo;
  • Cálculo da velocidade do escoamento no furo;
  • Cálculo da vazão do escoamento no furo;
  • Cálculo do tempo necessário para o esvaziamento do reservatório.
Usando a solução exata a seguir, calcule a o tempo que o reservatório ficará vazio e diga o erro comparado com a solução anterior (dos passos).
y_{\text {exata }}(t)=\left[\sqrt{y_{0}}-\left(\frac{d}{D}\right)^{2} \sqrt{\frac{g}{2}} t\right]^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Profundidade inicial: y_{0}=34,5\\ \mathrm{cm}=0,345\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do reservatório: D=9,5\\ \mathrm{cm}=0,095\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do furo: d=0,08\\ \mathrm{mm}=8{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}78\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Densidade da água: \rho=999\\ \mathrm{kg/m^{3}} (não é necessária para o tempo se usar Torricelli, mas está disponível).
O que o enunciado pede:
  1. Calcular o tempo que o reservatório ficará vazio usando a solução exata fornecida
y_{\text{exata}}(t)=\left[\sqrt{y_{0}}-\left(\frac{d}{D}\right)^{2}\sqrt{\frac{g}{2}}\,t\right]^{2},
ou seja, encontrar t tal que y_{\text{exata}}(t)=0.
2. Comparar esse tempo exato com a solução aproximada sugerida (método dos passos: usar pressão hidrostática média e escoamento permanente) e dizer o erro entre as duas soluções.

Passo 2

Encontrar o tempo exato de esvaziamento a partir da fórmula dada.
Explicação rápida do que a fórmula implica: a expressão interna
\sqrt{y_{0}}-\left(\frac{d}{D}\right)^{2}\sqrt{\frac{g}{2}}\,t
chega a zero exatamente quando o reservatório fica vazio (pois y_{\text{exata}}(t)= quadrado dessa expressão). Então basta resolver para t a equação
\sqrt{y_{0}}-\left(\frac{d}{D}\right)^{2}\sqrt{\frac{g}{2}}\,t=0.
Isolando t obtemos a fórmula do tempo exato de esvaziamento:
t_{\text{exato}}=\frac{\sqrt{y_{0}}}{\left(\dfrac{d}{D}\right)^{2}\sqrt{\dfrac{g}{2}}}.

Passo 3

Calcular numericamente t_{\text{exato}} passo a passo, explicando cada termo.
  1. Calcular \sqrt{y_{0}}:
\sqrt{y_{0}}=\sqrt{0,345}\approx 0{,}58729.
  1. Calcular a razão de diâmetros e o quadrado:
\frac{d}{D}=\frac{8{,}0\times10^{-5}}{0{,}095}=0{,}000842105263\approx 8{,}42105\times10^{-4},
\left(\frac{d}{D}\right)^{2}\approx (8{,}42105\times10^{-4})^{2}\approx 7{,}0909\times10^{-7}.
  1. Calcular \sqrt{\dfrac{g}{2}}:
\frac{g}{2}=\frac{9{,}78}{2}=4{,}89,\qquad \sqrt{\frac{g}{2}}\approx 2{,}21130.
  1. Multiplicar o denominador:
\left(\frac{d}{D}\right)^{2}\sqrt{\frac{g}{2}}\approx 7{,}0909\times10^{-7}\times2{,}21130\approx 1{,}5677\times10^{-6}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  1. Finalmente o tempo exato:
t_{\text{exato}}=\frac{0{,}58729}{1{,}5677\times10^{-6}}\approx 3{,}74735\times10^{5}\\ \mathrm{s}.
Converter para horas e dias (para ficar intuitivo):
t_{\text{exato}}\approx 3{,}74735\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx 104{,}09\\ \mathrm{h}\approx 4{,}337\\ \mathrm{dias}.

Passo 4

Agora vamos montar a solução aproximada pelo método sugerido (pressão hidrostática média + escoamento permanente) e calcular o tempo aproximado para comparar.
Ideia do método aproximado:
  • Usa-se uma pressão média equivalente a considerar uma altura média de coluna de água \bar{y}=y_{0}/2.
  • Usa-se a fórmula de Torricelli para velocidade permanente v=\sqrt{2g\bar{y}} (explicando: Torricelli diz que a velocidade de saída sob uma cabeça h é \sqrt{2gh} se desprezarmos perdas).
  • Vazão Q=v\cdot A_{\text{furo}}.
  • Volume inicial V=A_{\text{reserv}}\cdot y_{0}.
  • Tempo aproximado t_{\text{approx}}=V/Q.
Cálculos passo a passo:
  1. Altura média:
\bar{y}=\frac{y_{0}}{2}=\frac{0{,}345}{2}=0{,}1725\\ \mathrm{m}.
  1. Velocidade aproximada pela cabeça média:
v=\sqrt{2g\bar{y}}=\sqrt{2\cdot9{,}78\cdot0{,}1725}=\sqrt{3{,}3723}\approx1{,}8366\\ \mathrm{m/s}.
  1. Área do furo:
A_{\text{furo}}=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi(8{,}0\times10^{-5})^{2}}{4} \approx 5{,}0265\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Área do reservatório (seção transversal):
A_{\text{reserv}}=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}095)^{2}}{4} \approx 7{,}0889\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Volume inicial:
V=A_{\text{reserv}}\cdot y_{0}\approx 7{,}0889\times10^{-3}\cdot0{,}345\approx 2{,}4445\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  1. Vazão aproximada:
Q=v\cdot A_{\text{furo}}\approx 1{,}8366\cdot5{,}0265\times10^{-9}\approx 9{,}229\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  1. Tempo aproximado:
t_{\text{approx}}=\frac{V}{Q}\approx\frac{2{,}4445\times10^{-3}}{9{,}229\times10^{-9}}\approx 2{,}6486\times10^{5}\\ \mathrm{s}.
Converter:
t_{\text{approx}}\approx 2{,}6486\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx 73{,}57\\ \mathrm{h}\approx 3{,}065\\ \mathrm{dias}.
Observação rápida (didática): esse método aproxima a velocidade por uma cabeça média e considera vazão constante; como a cabeça real diminui com o tempo, esse procedimento tende a superestimar a vazão média e, portanto, subestimar o tempo real de esvaziamento — coisa que vamos confirmar numericamente.

Passo 5

Calcular o erro entre a solução aproximada e a solução exata.
  1. Diferença absoluta (tempo exato menos aproximado):
\Delta t = t_{\text{exato}}-t_{\text{approx}}\approx 3{,}74735\times10^{5}-2{,}6486\times10^{5}=1{,}09875\times10^{5}\\ \mathrm{s}.
Converter:
\Delta t\approx 1{,}09875\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx 30{,}52\\ \mathrm{h}\approx 1{,}271\\ \mathrm{dias}.
  1. Erro relativo (percentual) com base no tempo exato:
\text{Erro (\%)}=\frac{\Delta t}{t_{\text{exato}}}\times100\%\approx\frac{1{,}09875\times10^{5}}{3{,}74735\times10^{5}}\times100\%\approx29{,}34\%.
Arredondando de forma razoável, o erro percentual da solução aproximada é cerca de 29{,}3\% (a solução aproximada fornece um tempo menor do que o exato).

Resposta

t_{\text{exato}}\approx 3{,}747\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx104{,}1\\ \mathrm{h}\approx4{,}34\\ \mathrm{dias}
Erro da solução aproximada em relação ao exato: \Delta t\approx 1{,}099\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx30{,}5\\ \mathrm{h}\approx1{,}27\\ \mathrm{dias}, ou \approx29{,}3\%.

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