Ar escoa através de um duto longo de área constante a 0,15 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Um trecho curto do duto é resfriado com nitrogênio líquido circundando o duto. A taxa de perda de calor do ar neste trecho do duto é de 15,0 \mathrm{~kJ} / \mathrm{s}. A pressão e a temperatura absolutas e a velocidade do ar entrando no trecho resfriado são, respectivamente, 188 \mathrm{kPa}, 440 \mathrm{~K} e 210 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Na saída, a temperatura absoluta é de 351 K. Para variação de entropia =-0,262 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}, calcule: (a) área da seção do duto; (b) a massa específica do gás; (c) a pressão absoluta na saída; (d) a variação percentual do volume específico do gás; (e) a variação de entalpia; (f) a variação de energia interna. Utilize os seguintes dados: c_{p}=1,0; c_{v}=0,717 ; R=0,287, todos em kJ/kg.K;

Passo 1

Vamos entender certinho o que o enunciado dá e o que ele pede. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Taxa mássica de fluxo de ar: \dot{m}=0,15\\ \mathrm{kg/s}.
  • Taxa de perda de calor no trecho: \dot{Q}=-15{,}0\\ \mathrm{kJ/s} (é perda, mas esse valor só serve para contexto; não será necessário para todas as perguntas).
  • Entrada (estado 1): pressão absoluta P_1=188\\ \mathrm{kPa}, temperatura absoluta T_1=440\\ \mathrm{K}, velocidade V_1=210\\ \mathrm{m/s}.
  • Saída (estado 2): temperatura absoluta T_2=351\\ \mathrm{K}.
  • Variação de entropia do ar no trecho: \Delta s = s_2-s_1 = -0{,}262\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Propriedades do gás (constantes): c_p=1{,}0\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, c_v=0{,}717\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
O que o enunciado pede:
(a) área da seção do duto A;
(b) massa específica do gás (interpreto como massa específica na entrada, que é necessária para (a));
(c) pressão absoluta na saída P_2;
(d) variação percentual do volume específico do gás \dfrac{v_2-v_1}{v_1}\times100\%;
(e) variação de entalpia por unidade de massa \Delta h = h_2-h_1;
(f) variação de energia interna por unidade de massa \Delta u = u_2-u_1.
Observação: toda conta de gás ideal será feita com a equação de estado \,P v = R T\, (com P em \mathrm{kPa}, v em \mathrm{m^3/kg}, R em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e T em \mathrm{K}). A continuidade em regime permanente e área constante é \dot{m}=\rho A V, onde \rho é massa específica e V a velocidade.

Passo 2

Calcular a massa específica na entrada \rho_1 usando a equação dos gases ideais. Explicação curta do conceito: a equação dos gases ideais relaciona pressão, temperatura e volume específico; rearranjando, a massa específica é \rho=1/v=P/(R T). Fórmula:
\rho_1=\frac{P_1}{R\,T_1}.
Substituindo os valores (atenção às unidades: P_1 em \mathrm{kPa}, R em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e T_1 em \mathrm{K}):
\rho_1=\frac{188}{0{,}287\times440}.
Agora a conta:
0{,}287\times440=126{,}28, \qquad \rho_1=\frac{188}{126{,}28}=1{,}489\\ \mathrm{kg/m^3}.
Interpretação: \rho_1\approx1{,}489\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Calcular a área da seção do duto A usando a equação de continuidade em regime permanente, para área constante:
\dot{m}=\rho_1\,A\,V_1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{\dot{m}}{\rho_1\,V_1}.
Substituindo:
A=\frac{0{,}15}{1{,}489\times210}.
Fazendo as contas:
1{,}489\times210=312{,}69, \qquad A=\frac{0{,}15}{312{,}69}=4{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Interpretação física: é uma seção bem pequena (um duto estreito). Resultado:
A\approx4{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Encontrar a pressão na saída P_2 usando a variação de entropia para gás ideal. Aula rápida sobre entropia em gás ideal: para um gás ideal (com c_p constante) a variação de entropia pode ser escrita de duas formas equivalentes. Uma forma conveniente que relaciona (T,P) é
\Delta s = s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Esta fórmula vem de combinar ds=c_p\frac{dT}{T}-R\frac{dP}{P} para c_p constante e integrar entre 1 e 2.
Isolando \ln(P_2/P_1):
R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-\Delta s,
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\frac{c_p\ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)-\Delta s}{R}.
Agora substituímos números:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{351}{440}=0{,}797727\ldots,\qquad \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx-0{,}22612.
Então
c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-\Delta s = 1{,}0\times(-0{,}22612)-(-0{,}262)= -0{,}22612+0{,}262=0{,}03588.
Dividindo por R:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\frac{0{,}03588}{0{,}287}=0{,}12505.
Logo
\frac{P_2}{P_1}=e^{0{,}12505}=1{,}1337, \qquad P_2=1{,}1337\times188=213{,}1\\ \mathrm{kPa}.
Resultado:
P_2\approx213{,}1\\ \mathrm{kPa}.
Comentário intuitivo: apesar do resfriamento a pressão aumentou levemente porque a entropia diminuiu (processo não isentrópico simples) — a relação entre T, P e s pode produzir esse aumento.

Passo 5

Calcular os volumes específicos e a variação percentual pedida. Lembrete: v=\dfrac{1}{\rho}=\dfrac{R T}{P}.
Calcule v_1:
v_1=\frac{R T_1}{P_1}=\frac{0{,}287\times440}{188}=\frac{126{,}28}{188}=0{,}6720\\ \mathrm{m^3/kg}.
Calcule v_2 usando T_2 e P_2 (peguei P_2 do Passo 4):
v_2=\frac{R T_2}{P_2}=\frac{0{,}287\times351}{213{,}1}=\frac{100{,}737}{213{,}1}=0{,}4729\\ \mathrm{m^3/kg}.
Variação percentual do volume específico (relativa a v_1):
\%\Delta v=\frac{v_2-v_1}{v_1}\times100\%=\frac{0{,}4729-0{,}6720}{0{,}6720}\times100\%=-29{,}63\%.
Interpretação: o volume específico diminuiu cerca de 29{,}6\%.

Passo 6

Calcular a variação de entalpia \Delta h. Aula rápida: para um gás ideal com c_p constante, a entalpia específica depende só da temperatura e
\Delta h=h_2-h_1=c_p\,(T_2-T_1).
Substituindo:
\Delta h = 1{,}0\times(351-440)=1{,}0\times(-89)=-89{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: cada kg de ar perdeu 89{,}0\\ \mathrm{kJ} de entalpia ao ser resfriado.

Passo 7

Calcular a variação de energia interna \Delta u. Aula rápida: para gás ideal u depende só de T e \,c_v dá a relação
\Delta u = u_2-u_1 = c_v\,(T_2-T_1).
Substituindo:
\Delta u = 0{,}717\times(351-440)=0{,}717\times(-89)=-63{,}813\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando de modo razoável:
\Delta u\approx -63{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.

Resposta

(a) A=4{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}
(b) \rho_1=1{,}489\\ \mathrm{kg/m^3}
(c) P_2=213{,}1\\ \mathrm{kPa}
(d) \%\Delta v=\dfrac{v_2-v_1}{v_1}\times100\%=-29{,}63\%
(e) \Delta h=h_2-h_1=-89{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}
(f) \Delta u=u_2-u_1=-63{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}

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