Um pequeno sistema residencial possui três sinais digitais:
A - Sistema Armado (1 = armado, 0= desarmado)
P - Sensor de Porta (1 = porta aberta, 0= porta fechada)
J - Sensor de Janela (1 = janela aberta, 0= janela fechada)
Deseja-se acionar um alarme sonoro \mathbf{S} quando o sistema estiver armado e houver abertura de porta ou janela.
Apresente a tabela verdade do sistema e a expressão booleana.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Apresentar a tabela verdade do sistema com as entradas \,A\,,\,P\,,\,J e a saída \,S.
Fornecer a expressão booleana que implementa \,S.
Informações dadas (resumindo):
\,A — Sistema Armado: \,1 significa armado, \,0 significa desarmado.
\,P — Sensor de Porta: \,1 significa porta aberta, \,0 porta fechada.
\,J — Sensor de Janela: \,1 significa janela aberta, \,0 janela fechada.
Desejo: acionar o alarme sonoro \,S quando o sistema estiver armado (\,A=1) e houver abertura de porta ou janela (\,P=1 ou \,J=1).
Passo 2
Antes de montar a tabela, vamos revisar os operadores lógicos básicos (bem devagar, como numa prova):
AND (conjunção): representamos por \cdot ou pela justaposição. Ex.: \,A\cdot P é 1 somente se \,A=1 e \,P=1.
OR (disjunção): representamos por +. Ex.: \,P+J é 1 se \,P=1 ou \,J=1 (ou ambos).
NOT (negação): representamos por sobrelinha \overline{X}. Ex.: \overline{P}=1 quando \,P=0.
Significado prático para este problema: como o alarme só deve tocar quando o sistema está armado, se \,A=0 então sempre \,S=0 (independente de \,P e \,J). Se \,A=1, então \,S depende de \,P e \,J: toca se \,P=1 ou \,J=1.
Passo 3
Vamos traduzir a especificação diretamente para uma expressão verbal-lógica, antes de montar a tabela:
“Acionar \,S quando \,A=1 e (\,P=1 ou \,J=1)” corresponde à expressão booleana (em forma natural):
S = A \text{ AND } (P \text{ OR } J)
Usando notação booleana habitual:
S = A\,(P + J).
Passo 4
Construção passo a passo da tabela verdade. Existem 2^3=8 combinações de entradas \,A,P,J. Vou listar todas e calcular \,S usando a regra: \,S=1 exatamente quando \,A=1 e pelo menos um de \,P ou \,J é 1.
Linha 5: \,A=1, P=0, J=0 então não há abertura, logo \,S=0.
Linhas 6–8: \,A=1 e há abertura de janela ou porta (ou ambas), logo \,S=1.
Passo 5
A partir da tabela, podemos escrever a forma canônica (soma de mintermos) escolhendo as linhas onde \,S=1. As linhas com \,S=1 são:
\,A=1,P=0,J=1 → mintermo \,A\overline{P}J.
\,A=1,P=1,J=0 → mintermo \,AP\overline{J}.
\,A=1,P=1,J=1 → mintermo \,APJ.
Logo a expressão canônica é
S = A\overline{P}J + AP\overline{J} + APJ.
Passo 6
Agora vamos simplificar essa expressão canônica passo a passo (isso é útil na prova para obter uma forma compacta):
Começamos com
S = A\overline{P}J + AP\overline{J} + APJ.
Fatorando \,A (porque todas as parcelas têm \,A):
S = A\bigl(\overline{P}J + P\overline{J} + PJ\bigr).
Agora simplificamos a parte entre parênteses. Observação: \,P\overline{J} + PJ = P(\overline{J}+J) = P\cdot 1 = P. Assim
\overline{P}J + P\overline{J} + PJ = \overline{P}J + P.
Em seguida use a identidade booleana \,P + \overline{P}J = P + J (pode-se ver isso por distributiva/consenso: P + \overline{P}J = (P+\overline{P})(P+J) = 1\cdot(P+J) = P+J). Portanto
\overline{P}J + P = P + J.
Colocando de volta,
S = A\,(P + J).
Portanto a forma simplificada e intuitiva é exatamente a que já escrevemos antes.
Passo 7
Interpretação final e forma prática (útil para desenhar o circuito na hora da prova):
A expressão \,S = A(P + J) diz: primeiro faça \,P+J (ou lógico entre porta e janela) — se isso for 1 quer dizer que alguma abertura aconteceu; depois faça AND com \,A para garantir que o alarme só toca se o sistema estiver armado.
Alternativas equivalentes que você pode ver: \,S = AP\overline{J} + A\overline{P}J + APJ (forma canônica) ou \,S = A(P+J) (forma simplificada e compacta).
Força aí — essa questão é direta: montar a tabela e reconhecer que é um AND entre \,A e o OR entre \,P e \,J. Dá pra decorar a ideia e resolver rápido na prova.