O percentual de sofrimento psíquico entre os universitários, da área de saúde, chega a 49,1 % - ou seja, um a cada dois estudantes brasileiros do ensino superior, da área de saúde, sofre com problemas psicológicos. Esse número é o resultado de estudo feito a partir de 1.375 artigos internacionais que analisam a rotina de alunos da área da saúde. Escolhendo-se ao acaso 25 destes universitários determine:
a) a probabilidade de exatamente 2 terem sofrimento psíquico.
b) a probabilidade de que no máximo 2 terem sofrimento psíquico.
c) a probabilidade de que no mínimo 5 terem sofrimento psíquico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre estudantes universitários da área de saúde que sofrem de problemas psicológicos. A gente sabe que 49,1% desses alunos têm esse sofrimento psíquico. Agora, queremos calcular probabilidades relacionadas a isso quando escolhemos 25 alunos ao acaso. Vamos usar probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com duas possíveis saídas (suporta ou não sofre disso), e todas são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, sabendo a probabilidade de sucesso em cada tentativa. A fórmula é:
P(k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
  • $ \binom{n}{k} $ é a combinação de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.

Passo 3

Vamos aplicar isso à parte a): a probabilidade de exatamente 2 alunos terem sofrimento psíquico.
Aqui, $ n = 25 $, $ k = 2 $, e $ p = 0,491 $.
Primeiro, calculamos a combinação:
n = 25
Agora, aplicamos na fórmula:
k = 2

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. $ (0,491)^2 = 0,491 \times 0,491 \approx 0,241 $
  2. $ 1 - 0,491 = 0,509 $
  3. $ (0,509)^{23} $ é um valor pequeno, vamos usar uma calculadora para obter aproximadamente $ 0,509^{23} \approx 0,000114 $
Multiplicando tudo:
(0,491)^2 = 0,491 times 0,491 approx 0,241

Passo 5

Portanto, a probabilidade de exatamente 2 dos 25 alunos terem sofrimento psíquico é de aproximadamente 0,83%.

Resposta

a) A probabilidade de exatamente 2 alunos terem sofrimento psíquico é de aproximadamente 0,83%.

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