O percentual de sofrimento psíquico entre os universitários, da área de saúde, chega a
- ou seja, um a cada dois estudantes brasileiros do ensino superior, da área de saúde, sofre com problemas psicológicos. Esse número é o resultado de estudo feito a partir de 1.375 artigos internacionais que analisam a rotina de alunos da área da saúde. Escolhendo-se ao acaso 25 destes universitários determine:
a) a probabilidade de exatamente 2 terem sofrimento psíquico.
b) a probabilidade de que no máximo 2 terem sofrimento psíquico.
c) a probabilidade de que no mínimo 5 terem sofrimento psíquico.
a) a probabilidade de exatamente 2 terem sofrimento psíquico.
b) a probabilidade de que no máximo 2 terem sofrimento psíquico.
c) a probabilidade de que no mínimo 5 terem sofrimento psíquico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre estudantes universitários da área de saúde que sofrem de problemas psicológicos. A gente sabe que 49,1% desses alunos têm esse sofrimento psíquico. Agora, queremos calcular probabilidades relacionadas a isso quando escolhemos 25 alunos ao acaso. Vamos usar probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com duas possíveis saídas (suporta ou não sofre disso), e todas são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, sabendo a probabilidade de sucesso em cada tentativa. A fórmula é:
Onde:
- $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
- $ \binom{n}{k} $ é a combinação de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ n $ é o número total de tentativas.
Passo 3
Vamos aplicar isso à parte a): a probabilidade de exatamente 2 alunos terem sofrimento psíquico.
Aqui, $ n = 25 $, $ k = 2 $, e $ p = 0,491 $.
Primeiro, calculamos a combinação:
Agora, aplicamos na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular passo a passo:
- $ (0,491)^2 = 0,491 \times 0,491 \approx 0,241 $
- $ 1 - 0,491 = 0,509 $
- $ (0,509)^{23} $ é um valor pequeno, vamos usar uma calculadora para obter aproximadamente $ 0,509^{23} \approx 0,000114 $
Multiplicando tudo:
Passo 5
Portanto, a probabilidade de exatamente 2 dos 25 alunos terem sofrimento psíquico é de aproximadamente 0,83%.
Resposta
a) A probabilidade de exatamente 2 alunos terem sofrimento psíquico é de aproximadamente 0,83%.